Die Formel von Faà di Bruno ist eine Formel der Analysis, die vom italienischen Mathematiker Francesco Faà di Bruno (1825–1888) publiziert wurde.
Mit ihr lassen sich höhere Ableitungen von komponierten Funktionen bestimmen, sie verallgemeinert somit die Kettenregel und gehört zu den
Ableitungsregeln der Differentialrechnung.
Sind
und
zwei
-mal differenzierbare Funktionen, die von einer Variablen abhängen und deren Komposition wohldefiniert ist, und ist
der Differentialoperator nach dieser Variablen, so gilt
.
Die Menge
, über die hier summiert wird, enthält alle
-Tupel
aus nichtnegativen, ganzen Zahlen mit
. Jedes solche Tupel lässt sich bijektiv auf eine Partition von
abbilden, in dem
als Summand
-mal vorkommt. Die Anzahl der Summanden ist daher die
-te Partitionszahl. Der Quotient der Fakultäten ist ein Multinomialkoeffizient.
So wie die Regel von Leibniz die Produktregel auf höhere Ableitungen verallgemeinert, so verallgemeinert die Formel von Faà di Bruno die Kettenregel auf höhere Ableitungen.
Letztere Formel ist jedoch beweis- und rechentechnisch weitaus schwieriger.
Bei der Leibniz-Regel gibt es nur
Summanden, wohingegen bei der Faà di Brunoschen Formel mit der
-ten Partitionszahl
deutlich mehr Summanden auftreten.
Schreibt man die Formel für die ersten natürlichen Zahlen aus (oder benutzt Ketten- und Produktregel iterativ), so sieht man, dass die Ausdrücke schnell lang und unhandlich werden und die Koeffizienten nicht offensichtlich sind:
Weitere Ableitungen lassen sich mit Computeralgebrasystemen wie zum Beispiel Mathematica oder Maple ausrechnen.
Sind
und
zwei Potenzreihen
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{1})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3e2cbbaa108f1fe4259b5f269c3d34652c013c)
![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b8ff67ed150105decafe713a16c4a57f5abdac)
mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft
![{\displaystyle g(x_{0})=x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af3c74983ffa173b4decffe48b89310c20a0ae1)
Dann ist die Verkettung
beider Funktionen lokal wieder eine analytische Funktion und somit um
in eine Potenzreihe entwickelbar:
![{\displaystyle (f\circ g)(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d88b3e90c14c0f6870701851f104d5a52b3cd5e)
Nach dem Satz von Taylor gilt:
![{\displaystyle c_{n}={\frac {(f\circ g)^{(n)}(x_{0})}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840d0fbd551d7dee0e4e44c678783ff95ff24af3)
Mit der Formel von Faà di Bruno kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n)}(g(x_{0}))&=f^{(n)}(x_{1})\\&=n!\cdot a_{n}\\g^{(m)}(x_{0})&=m!\cdot b_{m}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26803a647585cc9f0f3ad89169ac62386ea87307)
Man erhält mit Multiindex-Schreibweise:
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {(f\circ g)^{(n)}(x_{0})}{n!}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{\frac {f^{(|{\boldsymbol {k}}|)}(g(x_{0}))}{{\boldsymbol {k}}!}}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x_{0})}{m!}}\right)^{k_{m}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{\frac {|{\boldsymbol {k}}|!\cdot a_{|{\boldsymbol {k}}|}}{{\boldsymbol {k}}!}}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}\left(b_{m}\right)^{k_{m}}\\&=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in T_{n}}{{|{\boldsymbol {k}}|} \choose {\boldsymbol {k}}}\,a_{|{\boldsymbol {k}}|}\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}b_{m}^{k_{m}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648e4be832a228d7954ca5be7de84e1c103653e1)
Dabei ist
der Multinomialkoeffizient zu
und
ist wieder die Menge aller Partition von
(siehe Partitionsfunktion).
Mit Hilfe der Formel lassen sich die Koeffizienten in der Laurent-Reihe der Gammafunktion in 0 symbolisch angeben. Mit der Funktionalgleichung und
folgt
.
Dabei gilt nach Faà di Bruno für die
-te Ableitung der Gammafunktion an der Stelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}\Gamma (1)&=D^{n}e^{\ln \Gamma (1)}\\&=\sum _{(k_{1},\dots ,k_{n})\in T_{n}}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,\Gamma (1)\prod _{m=1 \atop k_{m}\geq 1}^{n}\left({\frac {D^{m}\ln \Gamma (1)}{m!}}\right)^{k_{m}}\\&=\sum _{(k_{1},\dots ,k_{n})\in T_{n}}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,(-\gamma )^{k_{1}}\prod _{m=2 \atop k_{m}\geq 1}^{n}\left((-1)^{m}\,{\frac {\zeta (m)}{m}}\right)^{k_{m}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2288af12ac551a3c59905f3c2824e763d9231d3a)
wobei wie oben über die entsprechende Menge
von
-Tupeln summiert wird. Beim letzten Gleichheitszeichen sind die Ableitungen der Digamma-Funktion
benutzt, wobei
die Euler-Mascheroni-Konstante und
die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet.