Fuhrmann-Dreieck

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Fuhrmann-Dreieck (rot):
Kreisbogenmittelpunkte:
Fuhrmann-Dreieck (rot):

Das Fuhrmann-Dreieck, benannt nach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), ist ein spezielles Dreieck, das über ein gegebenes Ausgangsdreieck definiert ist.

Zu einem gegebenen Ausgangsdreieck sind die Mittelpunkte der Kreisbögen des Umkreises über den Dreiecksseiten . Diese Mittelpunkte werden an den zugehörigen Dreiecksseiten gespiegelt und die Spiegelpunkte sind die Eckpunkte des Fuhrmann-Dreiecks. Ist das gegebene Dreieck gleichseitig, so fallen diese drei Punkte zusammen.

Der Umkreis des Fuhrmann-Dreiecks wird auch als Fuhrmann-Kreis bezeichnet. Des Weiteren ist das Fuhrmann-Dreieck ähnlich zu dem von den Mittelpunkten der Kreisbögen gebildeten Dreieck, also und für seine Fläche gilt:

Hierbei bezeichnet den Mittelpunkt des Umkreises des Ausgangsdreiecks und seinen Radius, sowie den Mittelpunkt des Inkreises und dessen Radius. Aufgrund des Satzes von Euler gilt zudem für den Abstand der beiden Mittelpunkte . Für die Seitenlängen des Fuhrmann-Dreiecks existieren die folgenden Gleichungen:

  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
  • Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52