Gamma-Gamma-Verteilung
Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung ist bei
wobei die Eulersche Betafunktion ist.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erwartungswert und Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Erwartungswert ist
- , für
und die Varianz
- , für
Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Modus ist
- , für
Sonderfall δ=1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion
Da wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem Parameter .
Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Gamma-Gamma-Verteilung entspricht einer inversen Betaverteilung
Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist der zweite Parameter der Gammaverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.
Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist der Parameter der Exponentialverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2