Grothendiecks Spursatz

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Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der -nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii.[1] Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

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Approximationseigenschaft

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Ein Banach-Raum hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte und jedes ein Operator endlichen Ranges existiert, sodass für alle

⅔-nuklearer Operator

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Sei ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum mit Approximationseigenschaft, dann ist ein -Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

besitzt, wobei und und

Grothendiecks Spursatz

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Seien die Eigenwerte von einem -nuklearen Operator mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

und es gilt

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

mit

Einzelnachweise

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  1. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.