Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

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Die Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel besteht aus den Punkten mit rationalen Koordinaten, für die gilt. Die Gruppe besteht aus der Vereinigung beider Hyperbeläste, jeweils für und .

Gruppenoperation

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Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt . Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist .

Geometrisch ist dies die Hyperbelwinkeladdition: wenn und ist, sowie und , dann ist deren Summe der rationale Punkt auf der Einheitshyperbel mit dem Winkel im Sinne der gewöhnlichen Addition von Hyperbelwinkeln. Es gilt nämlich und . Man beachte, dass die "Winkel" jeweils nur als Parameter zu betrachten sind und nicht den tatsächlichen Winkeln der Punkte auf der Hyperbel entsprechen.

Gruppenstruktur

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Die Gruppe ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von :

wobei die Untergruppe aus zwei Elementen besteht und die Untergruppen die unendlichen zyklischen Gruppen sind, die jeweils von dem Punkt der Form erzeugt werden.