h-Kobordismus

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In der Mathematik ist der h-Kobordismus ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten.

Ein -dimensionaler Kobordismus zwischen -dimensionalen Mannigfaltigkeiten und heißt h-Kobordismus, wenn die Inklusionen und Homotopieäquivalenzen sind.

Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch die a priori schwächere Bedingung für die relativen Homologiegruppen.

Wichtige Sätze

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In Dimensionen ist nach dem h-Kobordismus-Satz (Stephen Smale)[1] jeder h-Kobordismus zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten trivial, also ein Produkt . (Dies gilt sowohl in der differenzierbaren wie in der stückweise linearen oder in der topologischen Kategorie.)

Wenn die Mannigfaltigkeiten nicht einfach zusammenhängend sind, dann werden nach dem s-Kobordismus-Satz (Barry Mazur, John Stallings, Dennis Barden) die h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe der Fundamentalgruppe klassifiziert.

In der topologischen Kategorie gilt der h-Kobordismus-Satz auch in Dimension 4, nicht jedoch in der differenzierbaren Kategorie. Dies hängt mit dem Scheitern des Whitney-Tricks in differenzierbaren 4-Mannigfaltigkeiten zusammen.

  • John Milnor: Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press 1965
  • A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8

Einzelnachweise

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  1. S. Smale, On the structure of manifolds, Amer. J. Math., Band 84, 1962, S. 387–399 online