HWI-Ungleichung

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Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.

Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.[1]

HWI-Ungleichung

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Sei

  • ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra ,
  • der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf .
  • der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf mit endlichem -ten Moment.
  • definieren wir analog für den Produktraum ,
  • das Lebesgue-Maß,
  • der Raum der -mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form ,
  • die -dimensionale Identitätsmatrix.

Seien , dann nennen wir ein eine Kopplung von , falls und seine Marginalen sind, das heißt und . Mit notieren wir den Raum aller Kopplungen von .

Wir nehmen nun an, dass absolut stetig bezüglich ist. Dann definieren wir weiter

  • die relative Entropie
,
  • die Wasserstein-Distanz
,
  • die relative Fisher-Information
.

HWI-Ungleichung auf ℝn

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Sei nun und . Nehme an, dass von der Form

und absolut stetig bezüglich ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix

für ein gelten.

Dann gilt die HWI-Ungleichung[2][3]

Falls konvex ist, dann gilt

Falls , dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante auf , notiert mit respektive für Maße der Form[2]

HWI-Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

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Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.[4]

Einzelnachweise

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  1. Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 361–400, doi:10.1006/jfan.1999.3557.
  2. a b Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 367, doi:10.1006/jfan.1999.3557.
  3. Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301.
  4. Ivan Gentil, Christian Léonard, Luigia Ripani, Luca Tamanini: An entropic interpolation proof of the HWI inequality. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 130, Nr. 2, 2020, S. 907–923, doi:10.1016/j.spa.2019.04.002, arxiv:1807.06893.