Halbsystem

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Ein Halbsystem modulo einer ungeraden natürlichen Zahl ungleich 1 ist eine Teilmenge von , der Menge der von (dem einzigen selbstinversen Element der additiven Gruppe des Restklassenrings modulo ) verschiedenen Restklassen modulo , in der zu jedem genau entweder oder liegt. Bei gegebenem Halbsystem bezeichnet man das komplementäre Halbsystem als .

Anwendung finden Halbsysteme bei Leopold Kroneckers Zugang zum Jacobi-Symbol.

In der primen Restklassengruppe modulo einer ungeraden Primzahl , , ist zum Beispiel die folgende Menge ein Halbsystem:

bezeichnet hier eine erzeugendes Element dieser stets zyklischen multiplikativen Gruppe der Ordnung . Beweis: enthält genau die Hälfte der Elemente von , die selbst genau Elemente enthält. Wegen liegt für das dazu additiv inverse Element nicht in , weil der Exponent modulo zu keinem mit kongruent ist. Denn andernfalls wäre ja durch teilbar, was jedoch wegen unmöglich ist.