Harnack-Ungleichung

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In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Im klassischen Fall der Wärmeleitungsgleichung beschränken sie die Diffusion der Wärme. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

Klassische Harnack-Ungleichung

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Es sei eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

,

wobei den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von abhängende Konstante , so dass

für alle gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante in Abhängigkeit von der Geometrie von ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen

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Insbesondere gilt für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen .

Sei der Ball mit Radius und Mittelpunkt im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

die Ungleichung

mit für alle .

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für mit .

Differentielle Harnack-Ungleichung

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Sei eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.