Heegaard-Floer-Homologie

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In der Mathematik ist Heegaard-Floer-Homologie eine Invariante einer geschlossenen Spinc-3-Mannigfaltigkeit . Sie wird mittels Heegaard-Zerlegung von durch Lagrange-Floer-Homologie konstruiert. Man erhält mehrere Homologiegruppen, die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen.

Die Heegaard-Floer-Homologie wurde in einer langen Serie von Arbeiten von Peter Ozsváth und Zoltán Szabó entwickelt.

Mittels Konstruktion geeigneter Filtrierungen lassen sich Invarianten konstruieren. Ein Beispiel hierfür ist die zu einem Knoten in einer 3-Mannigfaltigkeit assoziierte Knotenhomologie. Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Kontakthomologie, eine Invariante von Kontaktstrukturen.

Heegaard-Floer-Homologie kann algorithmisch berechnet werden.[1]

Sei eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit und

eine Heegaard-Zerlegung von mit Heegaard-Fläche und Heegaard-Diagramm .

Betrachte das symmetrische Produkt

,

wobei die auf dem Produkt von identischen Faktoren wirkende symmetrische Gruppe auf Elementen ist. Es ist eine glatte Mannigfaltigkeit und eine komplexe Struktur auf induziert eine komplexe Struktur auf dem symmetrischen Produkt.

Aus dem Heegaard-Diagramm erhält man zwei total reelle -dimensionale Tori in der komplexen Mannigfaltigkeit .

Für zwei Schnittpunkte wähle man zwei verbindende Wege . Die Differenz ist eine Schleife in und repräsentiert also ein Element

.

Mittels Morse-Theorie kann man (zu einem gewählten Basispunkt ) jedem Schnittpunkt eine [[Spinc-Struktur]] und damit ein der Spinc-Struktur eindeutig entsprechendes Element zuordnen, so dass für alle Paare von Schnittpunkten jeweils Poincaré-dual zu ist.[2]

Bezeichne die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen , die und auf und sowie die Kreisbögen nach und nach abbilden, sogenannten Whitney-Scheiben. Für der Modulraum der holomorphen Abbildungen in dieser Homotopieklasse, den man mittels kleiner Störungen als glatte Mannigfaltigkeit realisieren kann. Er kommt mit einer -Wirkung durch die -Wirkung mittels und erhaltender komplexer Automorphismen von . Bezeichne . Mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz kann man berechnen. Weiter sei (zu dem gewählten Basispunkt ) die Schnittzahl von mit . Schließlich definieren wir als die (mit Vorzeichen gezählte) Anzahl von Punkten in falls , und falls .

Definition für rationale Homologiesphären

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Sei eine rationale Homologiesphäre, d. h., ist endlich. Gegeben sei wie oben eine Heegaard-Zerlegung, ein Basispunkt und eine (einem eindeutigen Element aus entsprechende) Spinc-Struktur . Sei die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Punkten mit . Definieren den Randoperator durch

.

Die Heegaard-Floer-Homologie ist definiert als die Homologie von . Ozsváth-Szabó beweisen, dass nicht von der Wahl der Heegaard-Zerlegung, des Basispunktes, der komplexen Struktur und der Störungen abhängt und somit tatsächlich eine Invariante definiert. Man definiert . Die Homologiegruppen haben eine relative Gradierung durch für ein beliebiges .

Weiter sei die freie abelsche Gruppe erzeugt von Paaren aus mit . Sei der von Paaren mit erzeugte Unterkomplex und . Man definiert eine relative Gradierung durch und einen Randoperator durch

.

Die Gruppen werden definiert als die Homologiegruppen der Komplexe mit dem Randoperator . Ozsváth-Szabó beweisen, dass für rationale Homologiesphären stets isomorph zu für den durch gegebenen Morphismus von ist, und dass die Homologiegruppen nicht von der Wahl der Heegaard-Zerlegung, des Basispunktes, der komplexen Struktur und der Störungen abhängen, also tatsächlich Invarianten der rationalen Homologiesphäre und einer Spinc-Struktur definieren. Schließlich definiert man .

Definition für allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten

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Für 3-Mannigfaltigkeiten mit ist größer und man hat in der Definition des Randoperators unendlich viele Homotopieklassen mit . Nur in endlich vielen dieser Homotopieklassen gibt es holomorphe Scheiben, weshalb man wieder eine endliche Summe erhält. Dafür muss man sich aber auf spezielle Heegaard-Diagramme einschränken. Mit dieser Einschränkung funktionieren die Definitionen genau wie im Fall rationaler Homologiesphären.

Die verschiedenen Homologiegruppen hängen über natürliche lange exakte Sequenzen miteinander zusammen:

und mit dem oben definierten Morphismus

  • Für ist und .
  • Ein L-Raum ist eine rationale Homologiesphäre , für die eine freie abelsche Gruppe vom Rang ist. Dies ist der Fall für und alle Linsenräume.
  • Für die Brieskorn-Sphäre ist für gerade , und sonst.
  • Für die Brieskorn-Sphäre ist für und gerade , und sonst.

Surgery exact triangle

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Sei ein Knoten in einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit , mit Meridian und einer Longitude . Sei die durch -Chirurgie an und die durch -Chirurgie an erhaltene 3-Mannigfaltigkeit. Dann hat man exakte Sequenzen

und

.
  • Ozsváth-Szabó: Holomorphic disks and invariants for closed 3-manifolds, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1027–1158.
  • Ozsváth-Szabó: Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications, Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1159–1245.

Einzelnachweise

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  1. S. Sarkar, J. Wang: An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies. Ann. Math. (2) 171, No. 2, 1213–1236 (2010).
  2. P. Ozsváth, Z. Szabó: Holomorphic disks and invariants for closed three-manifolds