In der Mathematik ist Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien.
Sei
![{\displaystyle 0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4381f01fd83b11831ed2ea4b9b5eea0f6439c8)
ein Kettenkomplex und
eine abelsche Gruppe. Als Homologie mit Koeffizienten in
bezeichnet man die Homologie des Kettenkomplexes
.
Für
erhält man die Homologie des Kettenkomplexes.
Für einen topologischen Raum
bezeichnet man mit
die Homologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in
. Für
erhält man die singuläre Homologie.
Für einen Simplizialkomplex
bezeichnet man mit
die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in
. Für
erhält man die simpliziale Homologie.
Sei
der projektive Raum und
ein Körper.
Wenn die Charakteristik von
gleich
ist, dann ist
für alle
mit
.
Wenn
, dann ist
und für ungerade
auch
, aber
für alle anderen Werte von
.
Die Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes
![{\displaystyle 0\to H_{n}(X)\otimes G\to H_{n}(X;G)\to \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(H_{n-1}(X),G)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0c8926fa51c1764bc5b57458d22bf078dd84bf)
berechnet werden.