Hyperbelzirkel des Frans van Schooten
![Hyperbelzirkel des Frans van Schooten](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/01-Hyperbelzirkel-Frans_van_Schooten.jpg/290px-01-Hyperbelzirkel-Frans_van_Schooten.jpg)
Der Hyperbelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus, der die Form einer Hyperbel erzeugt. Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk Exercitationum mathematicarum libri quinque[1] in LIBER IV[2] einen Hyperbelzirkel.[3] Er ähnelt dem Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.
Im Wesentlichen besteht der Hyperbelzirkel aus drei Teilen:
- einer Raute mit den Gelenkpunkten mit der ersten Zirkelnadel im Brennpunkt ,
- einer Diagonalschiene aus zwei an den Enden verbundenen Stäben, mit dem Schreibstift in
- einer Führungsschiene mit der zweiten Zirkelnadel im Punkt . Die Führungsschiene ist nach dem Gelenkpunkt geschlitzt und verläuft durch den Punkt .
Drei sogenannte Gleitsteine ermöglichen linear bewegliche Verbindungen. Einer davon führt den Gelenkpunkt der Raute, der zweite den Schreibstift im Punkt und der dritte Gleitstein führt den Gelenkpunkt der Raute. Die Diagonalschiene ist nicht in einem Gelenkpunkt oder der Raute gelagert, sie ist deshalb in Längsrichtung von bis und von bis verschiebbar. Im Vergleich dazu ist im Ellipsenzirkel des Frans van Schooten der Diagonalstab im Gelenkpunkt der Raute gelagert.
Das Zeichnen einer Hyperbel mithilfe des Zeichenstiftes in soll die Hand verdeutlichen. Nach dem Einstechen des Zirkels in die Brennpunkte und wird mit einer Hand mithilfe eines Griffes im Punkt der Hyperbelzirkel bewegt. Dabei zwingt die Führungsschiene ( durch und ) zusammen mit der Diagonalschiene den Schreibstift in in eine hyperbelförmige Bahn.
Aufgrund der Darstellung ist anzunehmen, dass der Hyperbelzirkel in bestimmten labilen Lagen (u. a. wenn Brennpunkte und Zeichenstift auf einer Linie liegen) mit der anderen Hand, am Punkt oder einer Stützung bedarf.
Eine mögliche Begründung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Hyperbeln sind, ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben.
Geometrische Betrachtung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zur Verdeutlichung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel erzeugten Kurven exakte Hyperbeln sind, wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis bestimmt und im Anschluss daran der Hyperbelzirkel prinzipiell eingearbeitet. In Hyperbel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erläutert. Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten entnommen.
Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/01-Hyperbelzirkel-Hyperbelpunkt.svg/290px-01-Hyperbelzirkel-Hyperbelpunkt.svg.png)
oder
Basiskonstruktion für Hyperbelzirkel des Frans van Schooten
Mit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte, lautet eine maßgebende Aussage der Definition mit Leitkreis, bezogen auf den rechten Ast der Hyperbel:
- „Ist der Kreis um mit Radius , so hat vom Kreis denselben Abstand wie vom Brennpunkt : Man nennt den zu gehörigen Leitkreis der Hyperbel.“
Es beginnt mit dem Einzeichnen einer Geraden, der Mittelachse der späteren Hyperbel. Darauf wird der erste Scheitelpunkt beliebig markiert und anschließend, mit einem frei wählbaren Abstand, der zweite Scheitelpunkt festgelegt. Somit ist der Abstand der Scheitelpunkte, gleichbedeutend mit dem Radius des Leitkreises bestimmt. Nun setzt man mit einem abgeschätzten, aber gleichen Abstand zu bzw. jeweils nach außen, die Brennpunkte und Mit den gewählten Brennpunkten und sowie mit einem der beiden Scheitelpunkte oder (drei bekannte Punkte) ist die Hyperbel bereits mathematisch bestimmt. Die Hyperbel (grün) kann z. B. mithilfe einer Dynamischen‐Geometrie‐Software (DGS) eingetragen werden.
Es geht weiter mit dem Ziehen des Leitkreises um mit dem Radius für den rechten Ast der Hyperbel; es ergibt den Hilfspunkt Um den Punkt zu finden, der zum Brennpunkt den gleichen Abstand hat wie zum Leitkreis zieht man mit beliebigem Radius, aber mit derselben Zirkelöffnung um den Kreis und um den Kreis dabei ergibt sich der zweite Hilfspunkt Wird jetzt ein Kreis mit dem Radius um eingezeichnet, wird sozusagen der Radius des Kreises zum Radius des Leitkreises addiert. Der Schnittpunkt des Kreises mit ist der gesuchte Punkt
Die nun folgende Halbgerade ab durch schneidet den Leitkreis in und liefert das gleichschenklige Dreieck (rosa) mit den beiden gleich langen Seitenlängen und Abschließend wird noch die Mittelsenkrechte des Abstandes eingetragen; wegen des gleichschenkligen Dreiecks verläuft sie durch den Punkt Daraus folgt:
das gleichschenklige Dreieck mit
ist eine halbe Raute, in der die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende des Winkels Tangenten der Hyperbel sind. Somit ist der konstruierte Punkt ein Hyperbelpunkt.
Konstruktion des Hyperbelzirkels
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Damit der Hyperbelzirkel eine komplette Hyperbellinie zeichnen kann, ist es erforderlich, dass die Führungsschiene (ab durch ) oberhalb der Raute (Zirkelnadel in ) liegt. Anzumerken ist, in der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten liegt die Führungsschiene unterhalb der Raute. Mit dieser Position der Führungsschiene kann die Hyperbellinie nicht durch den Scheitelpunkt gezogen werden, sondern nur, z. B. gegen den Uhrzeigersinn, bis die Führungsschiene an der Zirkelnadel in der Raute anliegt.
Die Prinzipskizze (Bild 2) ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis (Bild 1). Für eine bessere Übersichtlichkeit wurden die irrelevanten Kreise, Punkte etc. ausgeblendet. Der Leitkreis sowie u. a. die Punkte und sind bereits in der vorangegangenen Konstruktion (Bild 1) bestimmt, es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Hyperbelzirkels.
Zuerst werden die zwei Seitenlängen und der Raute, mit abgeschätzter Zirkelöffnung, deutlich größer als der Abstand , auf der Mittelsenkrechten festgelegt. Die Verbindung der Gelenkpunkte mit sowie mit schließt sich an und vollendet die Raute mit dem gleichschenkligen Dreieck (hellblau). Es folgt das Einzeichnen der Diagonalschiene, deren Länge größer ist, als die Diagonale der Raute. Abschließend wird die Führungsschiene ab durch eingezeichnet. Sie schneidet die Diagonalschiene , wie vorgegeben, ebenfalls im Hyperbelpunkt des gleichschenkligen Dreiecks (rosa).
Hyperbel zeichnen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wird der Hyperbelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt, läuft der Punkt auf dem Leitkreis und der Schreibstift () im Spalt der Diagonalschiene Die Führungsschiene ( durch und ) zwingt die Diagonalschiene als konstante Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke und , zu wirken. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt
Damit wird aufgezeigt: Die mit dem Hyperbelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Hyperbeln.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Fadenkonstruktion einer Hyperbel
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- C. Edward Sandifer: Van Schooten’s Ruler Constructions. In: Convergence August 2010. August 2010, doi:10.4169/convergence20141101 (englisch, Onlineversion vom November 2014).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri quinque. Lugdunum Batavorum (= Johannes Elsevir, Leiden 1657, Inhaltsübersicht, books.google.de).
- ↑ Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri V. Buch IV. Johannes Elsevir, Leiden 1657 S. 293 (books.google.de).
- ↑ Frans van Schooten: Exercitationum mathematicarum libri V. Band IV. Johannes Elsevir, Leiden 1657, S. 349 (books.google.de).