Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.
In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.
Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von
(Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).
Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von
beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Notation: Im Folgenden ist
ein globaler Körper. Das bedeutet, dass
entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass
eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass
eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet
eine Stelle von
Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als
oder
notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als
notiert werden. Im Folgenden bezeichne
die endliche Menge der unendlichen Stellen von
Wir schreiben
für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von
welche
enthält. Sei
die Vervollständigung von
nach einer Stelle
Bei einer diskreten Bewertung
bezeichne mit
den zugehörigen diskreten Bewertungsring von
und mit
das maximale Ideal von
Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe
für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante
Die Bewertung
wird dem Betrag
zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:
![{\displaystyle |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&,{\text{ falls }}x\neq 0\\0&,{\text{ falls }}x=0\end{cases}}\quad \forall x\in K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e491c4a6962bba3cdb9668ae89ffad25a906622)
Umgekehrt wird dem Betrag
die Bewertung
zugeordnet, welche wie folgt definiert ist:
für alle
Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.
Sei
ein topologischer Ring. Dann bildet
mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf
die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung
Wir installieren auf
die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf
erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf
die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge
ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn
in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird
eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung
wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von
entsteht und die
zu einer topologischen Gruppe macht.
Beweis: Man nehme den topologischen Ring
Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge
Diese Folge konvergiert in der
-Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung
der
können wir annehmen, dass
die folgende Form hat:
![{\displaystyle U=\prod _{p{\text{ prim }} \atop p\leq N}U_{p}\times \prod _{p{\text{ prim }} \atop p>N}\mathbb {Z} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd89c061f184d569e815a638088f489cca72478)
Weiterhin gilt, dass
für alle
und daher
für alle
Es folgt, dass
für alle
groß genug.
Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von
(vgl. das Lemma über den Unterschied zwischen der restringierten und unrestringierten Produkttopologie). In dieser neuen Topologie konvergiert weder die Folge noch ihre Inverse. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass die beiden Topologien verschieden sind. Wir installieren also auf den Einheiten die oben beschriebene Topologie. Mit dieser Topologie wird
eine topologische Gruppe. Es bleibt die Stetigkeit der Inversionsabbildung zu zeigen. Sei
eine beliebige, offen Menge in der oben definierten Topologie, d. h.
ist offen. Zu zeigen ist, dass
offen ist, d. h. zu zeigen ist, dass
offen ist. Dies ist nach Voraussetzung der Fall.
Sei
ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings ist die sogenannte Idelegruppe von
, welche im Folgenden mit
![{\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc9ebf5bf438f221a66d5e4aa616ffb29f645e4)
bezeichnet wird. Definiere weiterhin
Wir installieren auf der Idelegruppe die Topologie, die wir im Abschnitt zuvor definiert haben. Dadurch wird die Idelegruppe eine topologische Gruppe.
Sei
ein globaler Körper. Es gilt:
wobei die Gleichheit im Sinne topologischer Ringe zu verstehen ist. Das restringierte Produkt trägt die restringierte Produkttopologie, welche erzeugt wird von den restringierten offenen Rechtecken. Diese haben die folgende Gestalt:
wobei
eine endliche Teilmenge aller Stellen ist und
beliebige, offene Mengen sind.
Beweis: Wir führen den Beweis für
Die anderen beiden Aussagen folgen analog. Zuerst überlegen wir uns die Mengengleichheit. Betrachte dazu folgende Gleichungskette:
Beim Übergang von Zeile 2 zu 3 ist zu beachten, dass sowohl
als auch
in
sein sollen, also
für fast alle
und
für fast alle
also insgesamt
für fast alle
Als nächstes überlegen wir uns, dass die beiden Topologien übereinstimmen. Offensichtlich ist jedes restringierte offene Rechteck auch offen in der Topologie der Idelegruppe. Andererseits sei
offen in der Topologie der Idelegruppe, d. h.
ist offen. Es folgt, dass für jedes
ein restringiertes offenes Rechteck existiert, welches
enthält und in
liegt. Also ist
als Vereinigung restringierter offener Rechtecke darstellbar, also offen in der restringierten Produkttopologie.
Unter Verwendung der bisherigen Notation, definiere
![{\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}:=\prod _{v\nmid \infty }{\mathcal {O}}_{v}=\prod _{v<\infty }{\mathcal {O}}_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f040fe2756eb21b9aaa87f4af5acf8b757ed25)
und
als die entsprechende Einheitengruppe. Es gilt dann
![{\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}^{\times }=\prod _{v<\infty }{\mathcal {O}}_{v}^{\times }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e25cb618bf16bf2ba913e260b976f654883889b)
Sei
ein globaler Körper und sei
eine endliche Körpererweiterung. Dann ist
wieder ein globaler Körper und die Idelegruppe
ist definiert. Definiere
Beachte, dass beide Produkte endlich sind. Es gilt dann:
Es gibt eine kanonische Einbettung der Idelegruppe von
in die Idelegruppe von
Dem Idel
wird das Idel
mit
für
zugeordnet. Deshalb kann
als Untergruppe von
aufgefasst werden. Ein Element
liegt also genau dann in der Untergruppe
wenn seine Komponenten
erfüllen für
und wenn weiterhin gilt, dass
für
und
für die gleiche Stelle
von
Sei
eine endlichdimensionale
-Algebra, wobei
ein globaler Körper ist. Betrachte die Einheitengruppe von
Die Abbildung
ist im Allgemeinen nicht stetig in der Teilraumtopologie. Somit bilden die Einheiten keine topologische Gruppe. Wir statten
deswegen mit der Topologie aus, die wir in dem Abschnitt über die Einheiten auf topologischen Ringen definiert haben. Mit dieser Topologie versehen, nennen wir die Einheitengruppe von
die Idelegruppe
von
Die Elemente der Gruppe werden die Idele von
genannt.
Sei
eine endliche Teilmenge von
welche eine
-Basis von
enthält. Sei wieder
der
-Modul, der von
in
erzeugt wird. Wie bereits bei der Betrachtung des Adelerings, existiert eine endliche Teilmenge
der Stellenmenge, welche
enthält, so dass für alle
gilt, dass
ein kompakter Unterring von
ist und die Einheiten enthält. Weiterhin gilt für jedes
dass
eine offene Teilmenge von
ist und dass die Abbildung
stetig auf
ist. Es folgt, dass die Abbildung
die Gruppe
homöomorph auf ihr Bild unter dieser Abbildung in
abbildet. Für
sind
diejenigen Elemente von
welche unter der obigen Abbildung auf
abgebildet werden. Somit ist
eine offene und kompakte Untergruppe von
Der Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 71ff.
Diese Betrachtungen lassen sich insbesondere auf die Endomorphismenalgebren von Vektorräumen anwenden. Sei
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum, wobei
ein globaler Körper ist. Sei
Dies ist eine
-Algebra. Es gilt:
wobei eine lineare Abbildung genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante von
verschieden ist. Wenn
ein topologischer Körper ist, dann ist
eine offene Teilmenge von
denn
Da
abgeschlossen ist und
stetig ist, ist
offen. Mit
kann man dann wie oben die Idele von
betrachten.
Alternative Charakterisierung der Idelegruppe:
Sei die Situation wie zuvor: Sei
eine endliche Teilmenge der Stellenmenge welche
enthält. Dann ist
![{\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod \limits _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod \limits _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb25d05409b7c56bce82722b5a4e9a3f0bbcc7ec)
eine offene Untergruppe von
wobei
als Vereinigung der
geschrieben werden kann, und wobei
alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft. Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 72.
Im Spezialfall
erhält man Folgendes. Für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von
welche
enthält, ist die Gruppe
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod \limits _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod \limits _{v\notin P}{\mathcal {O}}_{v}^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefdeeb9a65fb0091d25409abf36d8e5f21e0920)
eine offene Untergruppe von
Es gilt weiterhin, dass
die Vereinigung aller dieser Untergruppen
ist.
Die Spur kann nicht ohne weiteres auf die Idelegruppe übertragen werden, die Norm allerdings schon. Sei dazu
Dann ist
also haben wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus
![{\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098f4ce838ac0b772f024fa60c34606ae455aabf)
Da
und somit invertierbar ist, so ist auch
invertierbar, da
Es gilt also, dass
Folglich liefert die Einschränkung der Normabbildung die folgende Abbildung:
![{\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\rightarrow I_{K}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57adcc494d8ba2399f8143e3cd413623fe65ff83)
Diese ist stetig und erfüllt ebenfalls die Eigenschaften der Norm aus dem Lemma über die Eigenschaften von Spur und Norm.
Die Einheiten des globalen Körpers
können diagonal in die Idelegruppe eingebettet werden:
Da
für alle
gilt, folgt die Wohldefiniertheit und Injektivität dieser Abbildung wie beim entsprechenden Satz über den Adelering.
Weiterhin gilt, dass die Untergruppe
diskret (und damit insbesondere abgeschlossen) in
ist. Diese Tatsache folgt analog wie bei dem entsprechenden Satz über den Adelering.
Insbesondere ist
eine diskrete Untergruppe von
In der algebraischen Zahlentheorie wird für einen gegebenen Zahlkörper
die Idealklassengruppe betrachtet. Analog dazu definiert man den Begriff der Idelklassengruppe wie folgt.
In Analogie zum Begriff des Hauptideals werden die Elemente von
in
als Hauptidele von
bezeichnet. Der Quotient, also die Faktorgruppe
wird die Idelklassengruppe von
genannt. Diese steht in Zusammenhang mit der Idealklassengruppe (vgl. den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe) und ist Hauptgegenstand bei den Betrachtungen in der Klassenkörpertheorie.
Da
abgeschlossen in
ist, folgt, dass
eine lokalkompakte, hausdorffsche, topologische Gruppe ist.
Für eine endliche Körpererweiterung
globaler Körper induziert die Einbettung
eine injektive Abbildung auf den Idelklassengruppen:
Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt, da die Injektion
offensichtlich
auf eine Untergruppe von
abbildet. Die Injektivität wird in Neukirch (2007), S. 388 gezeigt.
Für jede Teilmenge
der Stellenmenge von
ist
mit der Topologie der Idelegruppe eine lokalkompakte topologische Gruppe. Mit der Teilraumtopologie wird
im Allgemeinen keine topologische Gruppe, da die Inversionsabbildung nicht stetig ist.
Dieser Satz folgt aus der Lokalkompaktheit des Adelerings, der Konstruktion der Ideletopologie und der Darstellung der Idelegruppe als restringiertes Produkt.
Da die Idelegruppe mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe bilden, existiert ein Haarmaß
auf dieser Gruppe. Dieses kann so normalisiert werden, dass
Dies ist die Normalisierung an den endlichen Stellen. Hierbei bezeichnet
die Menge der endlichen Idele, also die Einheitengruppe der Menge der endlichen Adele. An den unendlichen wird das multiplikative Lebesgue-Maß
genommen.
Eine Einsumgebungsbasis der Idelegruppe ist durch eine Einsumgebungsbasis von
gegeben. Alternativ bilden auch alle Mengen der folgenden Form eine Einsumgebungsbasis:
![{\displaystyle \prod _{v}U_{v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5134bb4968b9a89c07327e2925347028460ae246)
wobei
eine Umgebung der
in
ist und
für fast alle
Sei
ein globaler Körper. Auf der Idelegruppe installieren wir einen Betrag wie folgt: Für ein gegebenes Idel
definiere:
![{\displaystyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac254c584ddc5c30ac1df45ea51b5384c3e3f38)
Da
ist dieses Produkt endlich und damit wohldefiniert. Die Definition des Betrages lässt sich auf den Adelering ausdehnen, wenn wir unendliche Produkte zulassen, wobei die Konvergenz in
betrachtet wird. Diese Produkte werden alle
so dass der ausgedehnte Betrag auf
verschwindet. Im Folgenden bezeichne
die Betragsabbildung auf
bzw.
Es gilt nun, dass die Betragsabbildung ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, d. h. die Abbildung
ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dies kann durch folgende Rechnung eingesehen werden: Seien
und
Dann gilt:
wobei beim Übergang von Zeile 3 in Zeile 4 benutzt wurde, dass alle auftretenden Produkte endlich sind. Die Stetigkeit der Abbildung folgt, indem man Folgenstetigkeit zeigt und ausnutzt, dass die Betragsabbildung auf
stetig ist. Dies kann man mit der umgekehrten Dreiecksungleichung einsehen. Aufgrund der restringierten Produkttopologie werden effektiv nur endlich viele Stellen betrachtet und die Behauptung folgt.
Wir definieren nun die Menge der
-Idele
wie folgt:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c95707dfaae13060dd55d853c3d2fcca08bf38b)
Die Gruppe der
-Idele sind eine Untergruppe von
In der Literatur wird auch
für die Gruppe der
-Idele verwendet. Im Folgenden wird die Notation
verwendet.
Es gilt nun, dass
eine abgeschlossene Teilmenge von
ist, denn
Die
-Topologie auf
stimmt mit der Teilraumtopologie von
auf
überein. Diese Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 69f.
Sei
ein globaler Körper. Für den Homomorphismus
von
nach
gilt:
Mit anderen Worten bedeutet das, dass
für alle
Die Produktformel impliziert, dass
ist. Dieser Satz ist in der Literatur als „Artin's product formula“ (Artins Produktformel) bekannt.
Es gibt viele Beweise dieser Aussage. Dieser hier orientiert sich an Neukirch (2007), S. 195. Er findet sich auch in Cassels (1967), S. 61. Die wesentliche Idee des Beweises ist es, die allgemeine Produktformel im algebraischen Zahlkörperfall auf den Spezialfall
zurückzuführen. Der Funktionenkörperfall geht ähnlich.
Sei
beliebig. Zu zeigen ist:
![{\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2841bb75febfc054d6574a27dc5cb64a6094d879)
Es ist
und damit
für jedes
für welches das zugehörige Primideal
nicht in der Primidealzerlegung des Hauptideals
auftritt. Dies ist für fast alle
so. Es gilt nun:
wobei beim Übergang von Zeile 1 in Zeile 2, die allgemein gültige Gleichung
benutzt wurde, wobei
eine Stelle von
und
Stelle von
ist, welche über
liegt. Beim Übergang von Zeile 2 in Zeile 3 wurde eine Eigenschaft der Norm ausgenutzt. Man beachte, dass die Norm in
ist. Wir können daher ohne Einschränkung annehmen, dass
ist. Dann hat
eine eindeutige Primzerlegung:
![{\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9c8a254500e733424fb1b0ee6d9809100678ac)
wobei
fast immer
Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Beträge auf
bis auf Äquivalenz genau die
-Beträge und
sind. Es folgt, dass
Es gibt noch weitere Beweise der Produktformel, welche in der Literatur zu finden sind.
Sei
ein
-dimensionaler
-Vektorraum. Setze
Sei weiterhin
Dann sind folgende Aussagen äquivalent
![{\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}^{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2a1cad218dc1b9525a3d07b6d12cff4e446220)
![{\displaystyle \operatorname {det} (a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6652cf3d1412cd97399fa8cf0498aaafce6a8f7e)
ist ein Automorphismus von ![{\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccdb1ba27215e0ae8d8fc61df305b7d4b90073f)
Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass
Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen
und
Homomorphismen sind von
nach
bzw.
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 73f.
Insbesondere erhält man für eine endlichdimensionale
-Algebra
und
die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
![{\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}^{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2a1cad218dc1b9525a3d07b6d12cff4e446220)
![{\displaystyle N_{A/K}(a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddefe69a567802e67c875816528a275657e2f18)
ist ein Automorphismus der additiven Gruppe ![{\displaystyle \mathbb {A} _{A}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7914bdcd492dd02788012fa3ffb2b4803f9ba450)
Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass
Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen
und
Homomorphismen sind von
nach
bzw.
Mit diesem Satz ist ein alternativer Beweis der Produktformel möglich, vgl. Weil (1967), S. 75.
Bevor wir den Satz formulieren können, brauchen wir folgende Hilfsaussage:
Lemma: Sei
ein globaler Körper. Es gibt eine Konstante
welche nur vom globalen Körper
abhängt, so dass für alle
mit der Eigenschaft
ein
existiert, sodass
für alle
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 66 Lemma.
Korollar: Sei
ein globaler Körper, sei
eine Stelle von
und sei
gegeben für alle Stellen
so dass
für fast alle
gilt. Dann gibt es ein
sodass
für alle
Beweis: Nach dem Lemma zuvor existiert eine Konstante
die nur von unserem (fixierten) globalen Körper abhängt. Wir bezeichnen mit
uniformisierende Elemente der entsprechenden Ganzzahlringe
Definiere nun das Adel
via
mit
minimal so, dass
für alle
Dann ist
fast immer. Definiere
mit
so dass
Dies geht, weil
für fast alle
ist. Nach dem obigen Lemma existiert ein
sodass
für alle
gilt.
Nun zum eigentlichen Satz:
Satz: Sei
ein globaler Körper.
ist diskret in
und der Quotient
ist kompakt.
Beweis: Die Diskretheit von
in
impliziert die Diskretheit von
in
Es bleibt zu zeigen, dass
kompakt ist. Dieser Beweis findet sich unter anderem in Weil (1967), S. 76 oder in Cassels (1967), S. 70. Im Folgenden wird Cassels (1967) Beweisidee wiedergegeben: Es reicht die Existenz einer kompakten Menge
zu zeigen, sodass die natürliche Projektion
surjektiv ist, da die natürliche Projektion eine stetige Abbildung ist. Sei nun
mit der Eigenschaft
gegeben, wobei
die Konstante des eingangs formulierten Lemmas ist. Definiere
![{\displaystyle W:=\{\xi =(\xi _{v})_{v}:|\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\quad \forall v\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531f3e08c484cb29fbde65a24f86bb87cf92e2b1)
Offensichtlich ist
kompakt. Sei nun
in
gegeben. Wir zeigen, dass ein
existiert, sodass
Per Definition der Menge der
-Idele gilt, dass
![{\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ebaa8e6e3b77c895adabcba1dc58f89fbe205)
und deshalb
![{\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a564fbd53bc894675aabfa223baf71a1619b87a)
Es folgt, dass
![{\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dab33a452f92a00abf45e013bf44efea90443e)
Wegen des vorigen Lemmas existiert ein
so dass
für alle
Es folgt, dass
Damit folgt die Behauptung.
Im Fall
gibt es einen kanonischen Isomorphismus
Weiterhin gilt, dass
ein Vertretersystem von
ist. Das bedeutet, dass
Ferner werden durch den Betrag folgende Isomorphismen topologischer Gruppen induziert:
Es folgt, dass
ein Vertretersystem von
ist. Dieser Satz ist Teil des Satzes 5.3.3 auf Seite 128 in Deitmar (2010).
Beweis: Definiere die Abbildung
via
Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da
für alle
und somit
gilt. Die Abbildung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Für die Injektivität sei
Daher existiert ein
so dass
Durch einen Vergleich an der unendlichen Stelle, folgt
und daher
Für die Surjektivität sei
gegeben. Da der Betrag dieses Elements
ist, ist
Es folgt, dass
Also ist
und damit ist die Abbildung surjektiv, denn
für alle
vgl. die Darstellung von
Die weiteren Isomorphismen sind gegeben durch:
via
und
via
Der Nachweis, dass es sich hierbei um Isomorphismen handelt, sei dem Leser zur Übung überlassen.
Für einen algebraischen Zahlkörper
definieren wir
Es gilt nun:
Hierbei bezeichnet
die Gruppe der gebrochenen Ideale in
mit dem Produkt zweier Ideale als Gruppenverknüpfung. Dadurch wird
eine Gruppe, die sogenannte Idealgruppe von
Wir schreiben
für die Idealklassengruppe des Dedekindrings
also ist
der Ganzzahlring des algebraischen Zahlkörpers
Per Definition gilt nun
Beweis: Im Folgenden benutzen wir die Tatsachen, dass es für einen algebraischer Zahlkörper
eine eineindeutige Beziehung zwischen den endlichen Stellen von
und dem Primidealen ungleich Null von
gibt:
Sei
eine endliche Stelle von
und sei
ein Repräsentant der Äquivalenzklasse
Definiere
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in {\mathcal {O}}:|x|_{v}<1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236e828b6988c1acff35c420c3324ccfb0aa8674)
Dann ist
ein Primideal in
Die Abbildung
ist eine Bijektion zwischen der Menge aller endlichen Stellen von
und der Menge der Primideale
von
Die Umkehrabbildung ist gegeben durch:
Einen gegebenen Primideal
wird die Bewertung
zugeordnet, welche gegeben ist durch
Nun zum eigentlichen Beweis. Die folgende Abbildung ist wohldefiniert:
wobei
das zur Stelle
zugehörige Primideal ist. Die Abbildung
ist offensichtlich ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es gilt, dass
Der erste Isomorphismus aus dem Satz folgt nun mit dem Homomorphiesatz.
Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten
heraus. Dies ist möglich, da
für alle
Man beachte den Missbrauch der Notation: Auf der linken Seite in Zeile 1 steht die Klammer für die zuvor definierte Abbildung. Anschließend wird die Einbettung von
in
benutzt. In Zeile 2 wird die Definition der Abbildungsvorschrift angewendet und schließlich benutzen wir in Zeile 3 die Tatsache, dass der Ganzzahlring
ein Dedekindring ist und somit jedes Ideal, insbesondere das Hauptideal
in Primfaktoren zerlegt werden kann. Die Abbildung
ist also ein
-äquivarianter Gruppenhomomorphismus. Folglich induziert uns die obige Abbildung einen surjektiven Homomorphismus
Wir zeigen nun, dass
gilt. Sei
Dann ist
da
für alle
Sei nun umgekehrt
mit
Dann folgt
Es gibt also einen Vertreter für den gilt:
Folglich gilt
und deswegen
Der zweite Isomorphismus aus dem Satz ist damit bewiesen.
Um den letzten Isomorphismus aus dem Satz zu zeigen, bemerken wir, dass die Abbdilung
einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
![{\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:C_{K}\rightarrow Cl_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577500998c069d858a6dec02a3af1edfccb1c0a4)
induziert. Es gilt, dass
Damit ist der Satz gezeigt.
Bemerkung: Die Abbildung
ist stetig im folgenden Sinne: Auf
haben wir die gewöhnliche Ideletopologie. Auf
installieren wir die diskrete Topologie. Die Stetigkeit folgt, wenn wir zeigen können, dass
offen ist für jedes
Nun ist
offen, wobei
sodass
Sei
ein globaler Körper. Falls
Charakteristik
hat, dann ist
Falls
Charakteristik
hat, dann ist
wobei
eine abgeschlossene Untergruppe von
ist, welche isomorph zu
ist. Weiterhin gilt:
![{\displaystyle C_{K}=I_{K}/K^{\times }\cong \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }\times N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9a91350217a40f1c41eb5b6768af1aa46f99c1)
wobei
falls
oder
falls
ist.
Beweis: Sei die Charakteristik von
gleich
Für jede Stelle
von
gilt, dass die Charakteristik von
gleich
ist, so dass
für jedes
in der Untergruppe von
ist, welche von
erzeugt wird. Folglich gilt dies auch für jedes
wobei
Das ist gleichbedeutend damit, dass das Bild des Homomorphismus
eine diskrete Untergruppe von
ist, welche in
liegt. Da diese nicht trivial, d. h.
ist, ist sie von einem
erzeugt, für ein
Wähle
so dass
Dann ist
das direkte Produkt von
und der Untergruppe, welche von
erzeugt wird, diskret ist und damit isomorph
ist.
Ist die Charakteristik von
gleich
so schreibe
für das Idel
für das
an den endlichen Stellen von
gilt und
an allen unendlichen Stellen von
gilt. Hierbei ist
Dann ist die Abbildung
ein Isomorphismus von
in eine abgeschlossene Untergruppe
von
und es gilt
Der Isomorphismus ist gegeben durch Multiplikation:
Offensichtlich ist
ein Homomorphismus. Zur Injektivität: Sei
Da
für
folgt
für
Weiterhin existiert ein
so dass
für
Daraus folgt, dass
für
Da zusätzlich noch
ist, folgt, dass
ist, wobei
die Anzahl der unendlichen Stellen von
ist. Es folgt
und damit die Injektivität. Für die Surjektivität sei
gegeben. Wir definieren
und weiterhin definieren wir
für
und
für
Definiere
Es gilt nun, dass
Es folgt die Surjektivität.
Die 2. Aussage folgt mit einer ähnlichen Betrachtung.
Sei
ein algebraischer Zahlkörper. Es existiert eine endliche Stellenmenge
von
sodass gilt:
![{\displaystyle I_{K}=(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v}^{\times })K^{\times }=(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v}^{\times })K^{\times }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599435df458fecb0640eb0cc2fc12491b515de21)
Beweis: Wir benutzen als Voraussetzung, dass die Klassenzahl endlich ist. Seien
Ideale, die die
Klassen in
repräsentieren. Diese setzen sich aus endlich vielen Primidealen
zusammen. Sei nun
eine endliche Primstellenmenge, die zu dieser Primideale gehörende Stellen und die unendlichen Stellen enthält. Es ist zu beachten, dass wir die eineindeutige Identifikation zwischen Primstellen und Stellen des Körpers ausnutzen. Dann erfüllt
die Behauptung aus dem Satz. Um dies einzusehen, benutzen wir den folgenden Isomorphismus
![{\displaystyle I_{K}/(\prod _{v\nmid \infty }{\mathcal {O}}_{v}^{\times }\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}^{\times })\cong J_{K},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8a772ab733770039f2f5ea0598e0bda4b03492)
welcher durch die Abbildung
induziert wird.
Wir zeigen im Folgenden die Behauptung des Satzes nur an den endlichen Stellen, da sie an den unendlichen Stellen klar ist.
Die Inklusion „
“ ist klar.
Sei nun
so gehört das zugeordnete Ideal
einer Klasse
an, d. h.
mit einem Hauptideal
Das Idel
wird unter unserer Abbildung
auf das Ideal
abgebildet. Das bedeutet, dass
Da die in
auftretenden Primideale in
liegen, ist
für alle
(hier werden wieder Primideale und Stellen miteinander identifiziert), d. h.
für alle
Daher ist
also
In Weil (1967), S. 77 wird obiges Theorem für einen beliebigen globalen Körper
gezeigt.
- John Cassels, Albrecht Fröhlich: Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). Academic Press, London 1987, ISBN 0-12-163251-2.
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. unveränd. Nachdruck der 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-37547-0.
- André Weil: Basic number theory. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1967, ISBN 978-3-662-00048-9.
- Anton Deitmar: Automorphe Formen. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-12389-4.
- Serge Lang: Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York 1994, ISBN 0-387-94225-4.