Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum
, der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L2-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.[1]
Sei
ein separabler Hilbertraum über
. Ein isonormaler Gauß-Prozess auf
ist ein stochastischer Prozess
![{\displaystyle W=\{W(h),h\in H\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fff3a268561e3465e56ae30e3342a4b99459c57)
definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum
, so dass
eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und
![{\displaystyle \mathbb {E} [W(h)W(g)]=\langle h,g\rangle _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240f5a87718dbd9bf684a7ef73af8144634ac1ab)
für alle
gilt.[2]
Aus der Definition folgt, dass die Abbildung
eine lineare Isometrie
![{\displaystyle W:H\to {\mathcal {H_{1}}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},P;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399f7a1d99b37205cae3da0d7b687b017e1c890f)
ist, denn für
und
gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(W(\lambda h+\mu g)-\lambda W(h)-\mu W(g)\right)^{2}\right]&=\|\lambda h+\mu g\|_{H}^{2}+\lambda ^{2}\|h\|_{H}^{2}+\mu ^{2}\|g\|_{H}^{2}\\&-2\lambda \langle \lambda h+\mu g,h\rangle _{H}-2\mu \langle \lambda h+\mu g,g\rangle _{H}+2\lambda \mu \langle h,g\rangle _{H}\\&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c11d19e3fc77856a8de40c9eb2f2ebc7d1b207)
Somit
-fast sicher
.
Aus der Linearität folgt auch sofort, dass
wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum
ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.
Fixiere eine Orthonormalbasis
und betrachte
iid und
.
Für ein beliebiges
definiere
, wobei die Reihe fast sicher und in
konvergiert, da
Sei nun
, dann gilt
.[3]
Sei
, wobei
ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß
. Dann definieren wir den Prozess
![{\displaystyle W:=\{W(A),A\in {\mathcal {B}},\mu (A)<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf48e39f44060847909581a366c3b1f71931c8c)
durch
![{\displaystyle W(A):=W(1_{A}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bbd45eb022b526a4282bb16dc47fe1e37064d2)
Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß
, so dass
![{\displaystyle W(A)\sim {\mathcal {N}}(0,\mu (A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03b6fd0ff3c46acece0a6feb9fd0ec6e3b9b7da)
falls
.
nennt man Weißes Rauschen basierend auf
und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.
Ist
und
das Lebesgue-Maß, dann ist
das
-parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.
Analog für
mit
und Lebesgue-Maß
definiert
![{\displaystyle B_{t}^{(n)}:=W([0,t)^{d}\otimes e_{n}),\quad t\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657f7541f07cbdc7c99492c41f57621716eb5ed2)
das
-Brownsche Blatt
mit Kovarianz
![{\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}^{(n)}B_{s}^{(m)}]=\mathbb {E} [W([0,t)^{d}\otimes e_{n})W([0,s)^{d}\otimes e_{m})]=\langle 1_{[0,t)^{d}}\otimes e_{n},1_{[0,s)^{d}}\otimes e_{m}\rangle =\prod _{i=1}^{d}\delta _{n,m}(t\wedge s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd6b12731d7d4aac4343da9fc31e14efa5dffac)
für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden.
Sei nun
, dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich
![{\displaystyle W(h)=\sum \limits _{k=1}^{n}\int _{T}h^{k}(s)\;dB_{s}^{(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78255e354f1be5b6d14b82c24d5c7bc28357e5fb)
und somit ein isonormaler Gauß-Prozess
.
- ↑ I. E. Segal: Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogorov. In: American Journal of Mathematics. Band 76, 1954, S. 721–73.
- ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4, doi:10.1007/3-540-28329-3.
- ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 300, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.