Klassifizierender Raum von SO(n)

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Der klassifizierende Raum der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:[1]

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

überträgt sich die -Wirkung auf .

Kleinster klassifizierender Raum

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  • Es ist die triviale Gruppe und daher der triviale topologische Raum.
  • Es ist und daher der unendliche komplexe projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

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Für einen topologischen Raum sei die Menge der -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

bijektiv.[2]

Kohomologiering

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Der Kohomologiering von mit Koeffizienten in wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:[3][4]

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .

Der Kohomologiering von mit Koeffizienten im Körper der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .

Unendlicher klassifizierender Raum

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Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .

Einzelnachweise

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  1. Milnor & Stasheff 74, Sektion 12.2 The Oriented Universal Bundle auf Seite 151
  2. universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch).
  3. Milnor & Stasheff, Theorem 12.4.
  4. Hatcher 02, Example 4D.6.