Klassifizierender Raum von SU(n)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der klassifizierende Raum der speziellen unitären Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel.

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

überträgt sich die -Wirkung auf .

Kleinster klassifizierender Raum

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  • Es ist die triviale Gruppe und daher der triviale topologische Raum.
  • Es ist und daher der unendliche quaternionische projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen topologischen Raum sei die Menge der -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

bijektiv.[1]

Kohomologiering

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kohomologiering von mit Koeffizienten im Ring der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:[2]

Unendlicher klassifizierender Raum

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch).
  2. Hatcher 02, Example 4D.7.