Dieser Artikel befasst sich mit Koalgebren über Körpern. Für Koalgebren über
Komonaden siehe dort.
Eine Koalgebra ist ein Vektorraum, der die zu einer Algebra duale Struktur besitzt. Das heißt anstelle einer Multiplikation, die zwei Elemente auf ihr Produkt abbildet, gibt es eine Komultiplikation, die ein Element auf ein Tensorprodukt abbildet, und anstelle eines neutralen Elements, das die Einbettung des Grundkörpers in die Algebra ermöglicht, gibt es eine Abbildung aus der Koalgebra in den Grundkörper, die Koeins genannt wird.
Eine Koalgebra über einem Körper
ist ein
-Vektorraum
mit Vektorraumhomomorphismen
, genannt Komultiplikation, Koprodukt oder auch Diagonale, und
, genannt Koeins, so dass
(Koassoziativität)
(Koeins)
Ein Koalgebrahomomorphismus zwischen zwei Koalgebren C und D ist ein Vektorraumhomomorphismus
mit
und
.
Sei
die kanonische Basis von
. Man kann auf
eine Koalgebra-Struktur mittels
![{\displaystyle \Delta _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795383d49b49cf54f25f59709740198824291b96)
und
![{\displaystyle \epsilon _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddb459fbd177f6c2ee92c04cb83243d3b5e09a2)
definieren.
ist koassoziativ, da
,
und
ist Koeins, da
.
Die Elemente von
sind Tensoren zweiter Stufe und können daher als Matrizen dargestellt werden. Die Komultiplikation ist dann
.
Die Multiplikation
einer (unitären assoziativen) Algebra
ist bilinear, und aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von
nach
aufgefasst werden. Die Multiplikation ist genau dann assoziativ, wenn das folgende Diagramm kommutiert.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Algebra-Associativity.svg/292px-Algebra-Associativity.svg.png)
Eine Algebra
besitzt genau dann ein neutrales Element, wenn es einen Vektorraumhomomorphismus
gibt, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Algebra-Unit.svg/327px-Algebra-Unit.svg.png)
In diesem Fall gilt
.
Eine Koalgebra
ist eine Algebra in der zu den Vektorräumen
dualen Kategorie
. Das heißt, anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung
, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Coalgebra-Coassociativity.svg/304px-Coalgebra-Coassociativity.svg.png)
Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung
, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Coalgebra-Counit.svg/328px-Coalgebra-Counit.svg.png)
Über das Koprodukt
eines Elements
ist im Allgemeinen nur bekannt, dass es in
liegt und sich folglich als
![{\displaystyle \Delta _{C}(x)=\sum _{i}x_{(1)}^{(i)}\otimes x_{(2)}^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edc27fe2117b49c70672c47040b9fd7387af26e)
darstellen lässt. In der Sweedler-Notation (nach Moss Sweedler) wird dies abgekürzt, indem man symbolisch
![{\displaystyle \Delta _{C}(x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27741685e992c9c99a791ae50c0cf94ac77eeb9)
schreibt. In summenloser Sweedler-Notation verzichtet man sogar auf das Summensymbol und schreibt
![{\displaystyle \Delta _{C}(x)=x_{(1)}\otimes x_{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64881fa50347b377935b61102ead641b51b637a)
Es ist dabei wichtig zu beachten, dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet. Die Symbole
und
sind für sich allein bedeutungslos und stehen nicht für bestimmte Elemente aus
, denn die Darstellung von
ist nicht eindeutig. Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die
am besten als „geeignete und für diese Rechnung fest gewählte“ Elemente.
Diese Schreibweise ermöglicht es, die Komposition von
mit anderen Funktionen als
![{\displaystyle (f\otimes g)\circ \Delta _{C}(x)=f(x_{(1)})\otimes g(x_{(2)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d911a2a065624b9edb0f582ab6ac1d5153380f8)
zu schreiben.
In summenloser Sweedler-Notation ist
genau dann Koeins, wenn
.
Das Koprodukt
ist genau dann koassoziativ, wenn
.
Dieses Element wird in Sweedler-Notation symbolisch als
![{\displaystyle \sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfada1d59f00683fee59ecea52490ede55b8592)
und summenlos als
![{\displaystyle x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a68ad62d9fdc5fb7280e2f10e7898a48c97851)
geschrieben.
Durch erneutes Anwenden von
entstehen längere Tensorprodukte, die analog geschrieben werden. Dabei muss man die „Indizes“ der hinteren Elemente gegebenenfalls erhöhen:
.
Durch Anwenden von
verkürzen sich die Tensorprodukte, die „Indizes“ der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst:
.
- Christian Kassel: Quantum Groups In: Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6.