In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie.
Es handelt sich um Kategorien
für
, deren Objekte die geschlossenen
-dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die
-dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.
Ein Objekt von
ist ein Paar
mit
, so dass
eine geschlossene,
-dimensionale
-Untermannigfaltigkeit
![{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{d-1+\infty }:=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\mathbb {R} ^{d-1+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4681b2c9db7250e3de4dfc6ab66b8ccdfbe6690)
ist.
Der Identitäts-Morphismus von
ist das Tripel
.
Ein von der Identität verschiedener Morphismus von
nach
ist ein Tripel
aus reellen Zahlen
mit
und einer
-dimensionalen kompakten
-Untermannigfaltigkeit
,
so dass es ein
gibt mit
,
,
.
Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung
![{\displaystyle (W_{1},a_{0},a_{1})\circ (W_{2},a_{1},a_{2}):=(W_{1}\cup W_{2},a_{0},a_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3fd1f0900a20b806e88ce7bd3f5b7a2fb81d95)
von Teilmengen in
definiert.
Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen
![{\displaystyle \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cong \mathbb {R} \times \bigcup _{M}\operatorname {Emb} (M,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9e188c6a4ed6e01f1a13a56251e5d4561a5f8)
und
.
Dabei bezeichnet
den Raum der Einbettungen in den
mit der
-Topologie. Die Diffeomorphismengruppe
wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum
wird mit der Quotiententopologie versehen.
- Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
- Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.