Kobordismuskategorie

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In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie.

Es handelt sich um Kategorien für , deren Objekte die geschlossenen -dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die -dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.

Definition der Kategorie

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Ein Objekt von ist ein Paar mit , so dass eine geschlossene, -dimensionale -Untermannigfaltigkeit

ist.

Der Identitäts-Morphismus von ist das Tripel . Ein von der Identität verschiedener Morphismus von nach ist ein Tripel aus reellen Zahlen mit und einer -dimensionalen kompakten -Untermannigfaltigkeit

,

so dass es ein gibt mit

,
,
.

Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung

von Teilmengen in definiert.

Topologische Anreicherung der Kategorie

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Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen

und

.

Dabei bezeichnet den Raum der Einbettungen in den mit der -Topologie. Die Diffeomorphismengruppe wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum wird mit der Quotiententopologie versehen.

  • Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
  • Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.