In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.
Sei
![{\displaystyle 0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4381f01fd83b11831ed2ea4b9b5eea0f6439c8)
ein Kettenkomplex und
eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in
bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes
.
Für
erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.
Für einen topologischen Raum
bezeichnet man mit
die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in
. Für
erhält man die singuläre Kohomologie.
Für einen Simplizialkomplex
bezeichnet man mit
die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in
. Für
erhält man die simpliziale Kohomologie.
Sei
der Kettenkomplex
,
wobei die mittlere Abbildung
und alle anderen Abbildungen konstant
seien. Die Homologiegruppen sind
.
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in
sind
.
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in
sind
.
Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem
![{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),G)\to H^{n}(X;G)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),G)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb6af9ef1c89407142a1ae20e16c4148f49a1c2)
eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.