Kombinationssatz von Klein

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Kombinationssatz von Klein ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Fuchsschen und Kleinschen Gruppen.

Er gibt Bedingungen für die Konstruierbarkeit diskreter Gruppen hyperbolischer Isometrien als freie Produkte und wird beispielsweise bei der Konstruktion von Schottky-Gruppen verwendet.

Er wurde 1883 von Felix Klein bewiesen. Gelegentlich wird auch der allgemeinere Kombinationssatz von Maskit als Kombinationssatz von Klein-Maskit bezeichnet.

Kombinationssatz

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kombinationssatz hat zwei Formulierungen, eine für Isometrien des hyperbolischen Raumes und eine äquivalente für Möbiustransformationen. (Die letztere war ursprünglich von Felix Klein bewiesen worden.) Die Äquivalenz der beiden Aussagen erhält man dadurch, dass Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes als Möbiustransformationen auf der "Sphäre im Unendlichen" wirken.

Kombinationssatz für diskrete Gruppen hyperbolischer Isometrien

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien zwei diskrete Untergruppen von (der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes) mit Fundamentalbereichen , die die Bedingungen

erfüllen. Dann ist die von und erzeugte Untergruppe eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von auf ist

.

Kombinationssatz für Möbiustransformationen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien zwei diskrete Gruppen von Möbiustransformationen, also diskrete Untergruppen von mit Fundamentalbereichen , die die Bedingungen[1]

erfüllen. Dann ist die von und erzeugte Untergruppe eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von auf ist

.

Für jeden Punkt und jedes reduzierte Wort

mit zeigt man per vollständiger Induktion . Für einen detaillierten Beweis einer etwas allgemeineren Aussage siehe: [2].

Anwendung: Schottky-Gruppen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion von Schottky-Gruppen: Seien Möbiustransformationen und Jordankurven, so dass für jeweils das Innere[3] von auf das Äußere von abbildet. Dann ist die von erzeugte Gruppe diskret und eine freie Gruppe. (So konstruierte Gruppen werden als Schottky-Gruppen bezeichnet.)

Obige Konstruktion lässt sich auch ohne den allgemeinen Kombinationssatz aus dem Poincaréschen Polyedersatz herleiten. Mit dem Kombinationssatz kann man aber die folgende stärkere Aussage beweisen: Jede nichtelementare (nicht notwendig diskrete) Gruppe enthält eine nichtelementare Schottky-Gruppe.

Schottky-Gruppen sind konvex-kokompakt. Ihre Limesmenge ist eine Cantormenge.

  • Felix Klein: Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie, Math. Ann. 21 (1883), 141–218.
  • R. Fricke und F. Klein: Vorlesungen über die Theorie der Automorphen Functionen. I, Teubner, Leipzig, 1897.
  • L. R. Ford: Automorphic functions, 1st ed., McGraw-Hill, New York, 1929.
  • Bernard Maskit: Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Für eine abgeschlossene Teilmenge bezeichnen wir mit den offenen Kern und mit das Komplement von .
  2. Maskit, On Klein's combination theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 120, 499–509 (1965) online
  3. Jede Jordankurve zerlegt in zwei Zusammenhangskomponenten (Jordanscher Kurvensatz). Wir wählen einen (beliebigen) festen Punkt und definieren dann das "Innere" einer Jordankurve als diejenige Zusammenhangskomponente, die enthält, das Äußere als das Komplement.