In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.
Zu einer gegebenen Darstellung
![{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bae89d4ebdb11695cfa1fc5e273bf2b533fc30)
kann man die duale Darstellung
![{\displaystyle \rho ^{*}\colon G\to \operatorname {GL} (V^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605e4aa9755bd7e5ac8787af6b38bdd87727d581)
in den dualen Vektorraum
definieren durch
![{\displaystyle \left(\rho ^{*}(s)\nu \right)(v)=\nu \left(\rho (s^{-1})v\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c0a8d2bcd1602f87e34bda52f11320a1240d6c)
für alle
und
Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung
zwischen
und
für alle ![{\displaystyle s\in G,v\in V,\nu \in V^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b80d3632f70272e5df0d5545ad93bfd20a48f86)
Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird
durch eine Matrix
und
durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also
.
Beweis: Sei
eine Basis von
und
die duale Basis von
. Sei
![{\displaystyle gv_{i}=\sum _{j}a_{ij}(g)v_{j}\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52511730ff0238719a51b886df9ad3a8cb483b2e)
und
,
dann ist
.
Wenn
eine unitäre Darstellung ist, dann ist
die komplex konjugierte Darstellung
.
Sei
und sei
die Darstellung von
definiert durch
![{\displaystyle \rho ({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&-\sin({\frac {4\pi }{3}})\\\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbec5bfac6ffe764eece6e9d17e218157ecc0ed)
Dann ist die duale Darstellung
gegeben durch:
![{\displaystyle \rho ^{*}({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ^{*}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&\sin({\frac {4\pi }{3}})\\-\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ^{*}({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&\sin({\frac {2\pi }{3}})\\-\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836862c385bac1f4a110cc0bf7e78d77c63bba07)
- Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
- Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8