Konvex-kokompakte Gruppe

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In der mathematischen Theorie der Kleinschen Gruppen sind konvex-kokompakte Gruppen eine Verallgemeinerung kokompakter Gitter mit zahlreichen Anwendungen etwa in der Theorie der dynamischen Systeme, der niedrig-dimensionalen Topologie und der harmonischen Analysis.

Sie können nicht nur in der Theorie der Kleinschen Gruppen, sondern auch allgemeiner in der Theorie von diskreten Isometriegruppen nichtpositiv gekrümmter Räume betrachtet werden.

Eine diskrete Gruppe von Isometrien eines CAT(0)-Raumes (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes ) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von kompakt ist.

Konvex-kokompakte Kleinsche Gruppen

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Für Kleinsche Gruppen sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

Konvex-kokompakte Gruppen in höherem Rang

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Sei ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Wenn irreduzibel und vom Rang ist, dann sind die kokompakten Gitter die einzigen konvex-kokompakten Untergruppen von .

Bei beliebigen symmetrischen Räumen nichtkompakten Typs gibt es zu jeder konvex-kokompakten Untergruppe Zerlegungen und mit für , so dass für jedes entweder oder ein kokompaktes Gitter in ist.[1]

Deshalb werden in der Theorie der symmetrischen Râume höheren Rangs RCA-Gruppen als reichhaltigere Verallgemeinerung konvex-kokompakter Gruppen untersucht.

  • William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
  • Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
  • Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.

Einzelnachweise

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  1. B. Kleiner, B. Leeb: Rigidity of invariant convex sets in symmetric spaces. Invent. Math. 163 (2006), no. 3, 657–676