Das Kriterium von Ermakoff oder das Ermakoffsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem russischen Mathematiker Wassili Petrowitsch Ermakoff (1845–1922) betitelt ist.
Die Funktion
sei stetig, positiv und monoton fallend für
. Die Reihe habe die Gestalt
,
wobei
der Wert der für
definierten Funktion
an der Stelle
ist. Dann gilt für die Reihe für hinreichend große
(etwa für
) entweder die Ungleichung für Konvergenz oder die für Divergenz:
[1]
Die erste Ungleichung sei erfüllt. Für jedes
gilt dann mit der Substitution
:
;
daraus folgt:
,
denn es gilt:
,
der Subtrahend in der zweiten runden Klammer ist also positiv. In diesem Fall gilt:
;
fügen wir zu beiden Seiten das Integral
hinzu, so erhalten wir:
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\leqq {\frac {1}{1-q}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34030df2ff4e7c8ff95f581b99f01bf7d041aea)
und daraus, unter Berücksichtigung von
:
.
Da mit wachsendem
auch das Integral wächst, besitzt es für
einen endlichen Grenzwert:
;
nach dem Integralkriterium ist die Reihe
also konvergent.
Nun sei die zweite Ungleichung erfüllt. Dann ist:
![{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b38eaac850466492293d303e5a0c8bf7e6a825e)
und, wenn zu beiden Seiten das Integral
addiert wird:
![{\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=\gamma >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb80a31fbbfa89c652c4f3cfaa314826e69cd77)
(denn wegen
ist
). Jetzt bilden wir eine Zahlenfolge
durch die Festsetzung
; nach dem Bewiesenen ist:
,
also:
.
Damit ist klar, dass:
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t=\lim \limits _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d03417823c056615745c75e19aeec7eabe1a1ed)
gilt, d. h., nach dem Integralkriterium ist die Reihe
divergent.[2]
- ↑ Arbeitsblatt I. (PDF; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2010). Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung (Fakultät Mathematik und Physik) der Universität Stuttgart, 29. April 2010, S. 3/8 S., abgerufen am 24. Dezember 2012.
- ↑ Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 268/732 S. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 24. Dezember 2012] russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai).