Dieser Artikel beschreibt das Kronecker-Symbol im Kontext quadratischer Reste in der Zahlentheorie. Für das Delta-Symbol
![{\displaystyle \delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa75d04c11480d976e1396951e02cbb3c4f71568)
von Kronecker siehe
Kronecker-Delta.
In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols
auf beliebige ganzzahlige
. Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt[1] und wird daher nach ihm benannt.
Es sei
eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung
![{\displaystyle m=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5413aef961ba77e96cf2774859f0453873683a6)
wobei
eine Einheit ist (d. h.
) und die
Primzahlen bezeichnen.
Ist
eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol
definiert durch
![{\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)=\left({\frac {n}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {n}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2b592638f29d860bfd305a770c60bb374cac4f)
Für ungerade
ist die Zahl
einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol.
Der Fall
ist getrennt zu betrachten. Wir definieren
durch
![{\displaystyle \left({\frac {n}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade,}}\\1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{falls }}n\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da2c8a6a6196491bdb17caf69482122caa2fcf4)
Der Faktor
in der Definitionsgleichung ist für
gleich
(Jacobi-Symbol). Für
definiert man
![{\displaystyle \left({\frac {n}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{falls }}n<0,\\1&{\mbox{falls }}n\geq 0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95c03557896fb782dd2288614c202881df4215f)
Schließlich setzt man noch
![{\displaystyle \left({\frac {n}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=\pm 1,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec608f76665aec817fb3af1786658971b53401ce)
Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen
definieren.
Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise
und
.
Für ungerades
stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.
Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:
falls
, sonst
.
außer wenn
gilt und eine der Zahlen
gleich 0 ist und die andere negativ.
, außer wenn
gilt und eine der Zahlen
gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu
besitzt.
- Für
gilt
wenn
Wenn
und
das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für
.
- Für
,
gilt
, wenn ![{\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&{\text{falls }}a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{sonst.}}\end{cases}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bb2260a67a80a2b26cd12a889ecdc75787c2d1)
Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das
Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades
das Kronecker-Symbol
Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob
ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo
ist.
Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:
Für jede ganze Zahl
bezeichne
den ungeraden Anteil:
mit ungeradem
(für
wird
gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen
:
![{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d292128e4beb79ba9c08b335ffffdf0feea49db6)
Dabei gilt das Pluszeichen von
, falls
oder
zutrifft, und das Minuszeichen, falls
und
.
Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen
richtig ist:
![{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c715150b619a27af88daee089e837aad1a16bf1)
Für eine beliebige ganze Zahl
sei
. Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der
![{\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afef581226006a9099a774e81e4dd7642aee47b8)
für beliebige ganze Zahlen
(nicht notwendig teilerfremd) gilt.
Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).
Für eine beliebige ganze Zahl
gilt
![{\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57be5c11ace110184d5fa7eb1f7243ec8b74a3d5)
für eine beliebige ungerade ganze Zahl
![{\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4bd9a8b6faf4f0199dd4a093266a590208fe66)
- ↑ Leopold Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Functionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1885, S. 770