LERF

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Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie wird eine Gruppe als LERF (locally extended residually finite, auch: subgroup separable) bezeichnet, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe und jedem nicht in liegenden Element eine Untergruppe von endlichem Index gibt, die , aber nicht enthält.

Der Begriff ist besonders in der niedrig-dimensionalen Topologie von Bedeutung. Dort wird die LERF-Eigenschaft von Fundamentalgruppen typischerweise ausgenutzt, um das Bild einer Immersion zu einer Einbettung in einer geeigneten endlichen Überlegerung zu heben. Im Zusammenhang mit der 2012 von Ian Agol bewiesenen Virtuell Haken Vermutung sind Fundamentalgruppen mit dieser Eigenschaft von Nutzen, weil dann jede zu einer Flächengruppe isomorphe Untergruppe einer in einer endlichen Überlegerung eingebetteten Fläche entspricht.

Eine Gruppe ist LERF wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe und jedem einen Homomorphismus

von auf eine endliche Gruppe gibt, so dass und .

Eine äquivalente Formulierung ist, dass für jede endlich erzeugte Untergruppe die Gleichung

gilt, es also zu jedem Element eine , aber nicht , enthaltende Untergruppe von endlichem Index gibt.

Eine weitere äquivalente Formulierung ist, dass jede endlich erzeugte Untergruppe abgeschlossen bzgl. der proendlichen Topologie ist.

Topologische Interpretation

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Die Fundamentalgruppe eines CW-Komplexes ist genau dann LERF, wenn gilt:

Für jede Überlagerung mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe und jeden endlichen Unterkomplex gibt es eine von überlagerte endliche Überlagerung , so dass die Abbildung eine Einbettung ist.[1]

Einzelnachweise

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  1. Lemma 1.4 in: Scott, op. cit.
  2. Marshall Hall: A topology for free groups and related groups. Ann. of Math. (2) 52, (1950). 127–139.
  3. G. Peter Scott: Subgroups of surface groups are almost geometric, J. London Math. Soc. 17 (1978), 555–565; Correction: ibid. 32 (1985), 217–220
  4. Ian Agol: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.
  5. Brunner, Burns, Solitar: The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation. Contributions to group theory, 90–115, Contemp. Math., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
  6. Henry Wilton: Hall's theorem for limit groups. Geom. Funct. Anal. 18 (2008), no. 1, 271–303.