Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.
Die Lagrange-Identität für die Funktionen
,
aus der Differentiationsklasse
und den Koeffizientenfunktionen
,
und
ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5a603931cb477a524b00d846e3d243ed362f91)
für den gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(\phi \psi '-\psi \phi '){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2a4ae5a169ef7f1a6c4f5c997a5e2981295c00)
wobei
die Wronski-Determinante der Funktionen
bedeutet.
Sei
ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:
![{\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi =\phi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\psi {\bigg )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf88dc9ca5dfe2c06e8a69e8af839386460db28)
und
![{\displaystyle \psi {\mathcal {L}}\phi =\psi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\phi {\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee6211661e645927155b69c967686aa0f872616)
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:
![{\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi =\phi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\psi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeca49463456eef5c2f489d2d089fe73640a161)
Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term
bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen
und
. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-{\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p\left(\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475e34285c1295c3dae8197fd00ebe22434af3a)