Lagrange-Identität (Randwertprobleme)

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Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

Die Lagrange-Identität für die Funktionen , aus der Differentiationsklasse und den Koeffizientenfunktionen , und ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator

für den gilt:

wobei die Wronski-Determinante der Funktionen bedeutet.

Sei ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:

und

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:

Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen und . Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also: