Die folgende Liste enthält verschiedene Ausdrücke für die Riemannsche Zeta-Funktion.
Erwähnenswert ist der Reihenausdruck
,
der für alle Werte
definiert ist.[1] Interessant daran ist, dass sich damit die Zeta-Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lässt, da für die Berechnung von
lediglich die Werte
benötigt werden.
Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe[2]
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left({n \atop k}\right){\frac {(-1)^{k-1}}{(k+1)^{s-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9add2dd1f51790f8b4914e094503b0794075fe3c)
Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen.[3]
Es gilt für
:
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8a65c380607539af773c685d35a757fac67d77)
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{x}x^{s}}{(e^{x}-1)^{2}}}\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22cf479c688f0ea3218d9c850cd64f861eb87cc5)
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2(1-2^{-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\sinh(x)}}\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fdec274a37072dac0fc1aa893e94f0846ea2be)
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\sinh(x)^{2}}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b957803899fbac27aa1924abfe0bf296c6bdeb9)
Für
mit
gilt
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(-1)}{2^{1-s}-1}}={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130cc4addcd8e3861cd9a86a7b3cfb096a638cef)
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{x}x^{s}}{(e^{x}+1)^{2}}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370c1482c3bf5c84261b57177a46100fb8ab2f6f)
Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:[4]
.
Ganz ähnlich dazu gilt beispielsweise
,
wobei allerdings das Integral einschränkend nur für
konvergiert.
Eine Übersicht zu zahlreichen weiteren Integraldarstellungen stammt von Michael S. Milgram.[5]
Zur Herleitung einer global gültigen Summenformel ist bei der Mellin-Transformation zu beachten, dass der Integrand neben der Kernfunktion
eine um
analytische Funktion ist:
![{\displaystyle {\frac {t}{\mathrm {e} ^{t}-1}}=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}t^{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bede75cc48267714015ea5e5d4c42480c6fc46)
Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen der Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen
. Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von
im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz
fortgesetzt werden:
[6]
Dabei wird ausgenutzt, dass
eine ganze Funktion ist.
Es gilt
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}={\frac {\lambda (s)}{1-2^{-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ab01390fbe20be658a11b8538190364c82d3d)
wobei
und
die Dirichletsche Eta- bzw. Lambda-Funktion bezeichnet.[7]
Werte der Riemannschen Zeta-Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf. Erwähnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln, die für jedes natürliche
gegeben sind durch[8]
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{n^{s}\log n}}\left(\sum \limits _{k=1}^{n-1}\psi _{s-1}\left({\frac {k}{n}}\right)-\left(n^{s}-1\right)\psi _{s-1}(1)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a8ec6e517c97a26cf194b42ffec842234c34b7)
- ↑ Henri Cohen: Number Theory, Volume II. Analytic and Modern Tools. Springer Verlag, S. 74, Setzen von
in die zweite Formel.
- ↑ H. Hasse: "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift. 32 (1) (1930): 458–464, doi:10.1007/BF01194645.
- ↑ I. V. Blagouchine: Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions. INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 18A (2018): 1–45. (arXiv).
- ↑ Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
- ↑ Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results, (arXiv).
- ↑ Dragan Miličić: Notes on Riemann’s Zeta Function. (PDF; 121 kB).
- ↑ Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda-Function. In: MathWorld (englisch).
- ↑ O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6.