Liste von Darstellungen für die Riemannsche Zeta-Funktion

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Die folgende Liste enthält verschiedene Ausdrücke für die Riemannsche Zeta-Funktion.

Reihendarstellungen

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Erwähnenswert ist der Reihenausdruck

,

der für alle Werte definiert ist.[1] Interessant daran ist, dass sich damit die Zeta-Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lässt, da für die Berechnung von lediglich die Werte benötigt werden.

Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe[2]

Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen.[3]

Integraldarstellungen

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Es gilt für :

Für mit gilt

Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:[4]

.

Ganz ähnlich dazu gilt beispielsweise

,

wobei allerdings das Integral einschränkend nur für konvergiert.

Eine Übersicht zu zahlreichen weiteren Integraldarstellungen stammt von Michael S. Milgram.[5]

Zur Herleitung einer global gültigen Summenformel ist bei der Mellin-Transformation zu beachten, dass der Integrand neben der Kernfunktion eine um analytische Funktion ist:

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen der Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen . Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz fortgesetzt werden:

[6]

Dabei wird ausgenutzt, dass eine ganze Funktion ist.

Beziehungen zu speziellen Funktionen

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Es gilt

wobei und die Dirichletsche Eta- bzw. Lambda-Funktion bezeichnet.[7]

Werte der Riemannschen Zeta-Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf. Erwähnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln, die für jedes natürliche gegeben sind durch[8]

Einzelnachweise

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  1. Henri Cohen: Number Theory, Volume II. Analytic and Modern Tools. Springer Verlag, S. 74, Setzen von in die zweite Formel.
  2. H. Hasse: "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift. 32 (1) (1930): 458–464, doi:10.1007/BF01194645.
  3. I. V. Blagouchine: Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions. INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 18A (2018): 1–45. (arXiv).
  4. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
  5. Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results, (arXiv).
  6. Dragan Miličić: Notes on Riemann’s Zeta Function. (PDF; 121 kB).
  7. Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda-Function. In: MathWorld (englisch).
  8. O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6.