Die lobatschewskischen Formeln sind zwei mathematische Formeln für uneigentliche Integrale im Zusammenhang mit dem Kardinalsinus , welche dem Teilgebiet der Analysis zuzurechnen sind. Gemäß der Darstellung von G. M. Fichtenholz in Band II der dreibändigen Differential- und Integralrechnung wurden sie von dem russischen Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) gefunden.[ 1]
Sie lauten:[ 2]
Gegeben sei eine reelle Funktion
f
:
[
0
,
∞
[
→
R
{\displaystyle f\colon [0,\infty [\to \mathbb {R} }
mit folgenden Eigenschaften:
(1)
f
{\displaystyle f}
ist im Intervall
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
eigentlich oder uneigentlich Riemann-integrierbar .
(2) Die mit dem Kardinalsinus gebildete Produktfunktion
f
⋅
si
:
[
0
,
∞
[
→
R
,
x
↦
f
(
x
)
⋅
si
(
x
)
{\displaystyle f\cdot \operatorname {si} \colon [0,\infty [\to \mathbb {R} \;,x\mapsto f(x)\cdot \operatorname {si} (x)}
ist im Intervall
[
0
,
∞
[
{\displaystyle [0,\infty [}
uneigentlich Riemann-integrierbar.
(3)
f
{\displaystyle f}
ist eine
π
{\displaystyle \pi }
-periodische Funktion , erfüllt also für
x
∈
[
0
,
∞
[
{\displaystyle x\in [0,\infty [}
stets die Gleichung
f
(
x
+
π
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(x+{\pi })=f(x)}
.
(4)
f
{\displaystyle f}
erfüllt für
x
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle x\in [0,\pi ]}
stets die Gleichung
f
(
π
−
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f({\pi }-x)=f(x)}
.
Dann gilt:
(a)
∫
0
∞
f
(
x
)
⋅
sin
x
x
d
x
=
∫
0
π
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x}
(b)
∫
0
∞
f
(
x
)
⋅
sin
2
x
x
2
d
x
=
∫
0
π
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x}
Mit Hilfe der lobatschewskischen Formeln (und unter Zuhilfenahme der üblichen Rechenmethoden der Integralrechnung ) lassen sich mehrere Identitäten ableiten, unter anderem die folgenden:
(A-1)
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}
[ 3]
(A-2)
∫
0
∞
sin
2
n
+
1
x
x
d
x
=
π
2
⋅
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
(
n
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2n+1}x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\;(n=0,1,2,3,\ldots )}
[ 4] [ 5]
(A-3)
∫
0
∞
sin
2
x
x
2
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}
[ 6]
(A-4)
∫
0
∞
arctan
(
a
⋅
sin
x
)
x
d
x
=
π
2
⋅
ln
(
a
+
1
+
a
2
)
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan {\left(a\cdot \sin x\right)}}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {\left(a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)}\;(a>0)}
[ 7]
(A-5)
∫
0
∞
ln
|
sin
x
|
⋅
sin
x
x
d
x
=
−
π
2
⋅
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\ln {|{\sin x}|}\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=-{{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln 2}}
[ 8] [ 9]
(A-6)
∫
0
∞
ln
|
cos
x
|
x
2
d
x
=
−
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln {|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}}
[ 8]
(A-7)
∫
0
∞
ln
2
|
cos
x
|
x
2
d
x
=
−
π
⋅
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\ln }^{2}{|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\pi \cdot \ln 2}}
[ 8]
Wie Fichtenholz darlegt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den Partialbruchzerlegungen der beiden Funktionen
x
↦
1
sin
x
,
x
↦
1
sin
2
x
(
x
∉
π
⋅
Z
)
{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}\;,\;x\mapsto {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}\;(x\notin {\pi \cdot \mathbb {Z} })}
. Hier gilt:[ 10]
1
sin
x
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
1
x
−
n
π
+
1
x
+
n
π
)
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
x
x
2
−
n
2
π
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sin x}}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}\left({\frac {1}{x-n\pi }}+{\frac {1}{x+n\pi }}\right)}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}{\pi }^{2}}}}}
sowie
1
sin
2
x
=
1
x
2
+
∑
n
=
1
∞
(
1
[
x
−
n
π
]
2
+
1
[
x
+
n
π
]
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{\left[x-n\pi \right]^{2}}}+{\frac {1}{\left[x+n\pi \right]^{2}}}\right)}}
.
G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II . Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik . Band 62 ). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlin 1974.
↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 635–636, 655–657, 695, 832
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 655–657, 695
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 635–636
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 656
↑ Mit dem doppelten Ausrufezeichen wird die Doppelfakultätenfunktion gekennzeichnet.
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 656–657
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 656, 697
↑ a b c Fichtenholz, op. cit., S. 695
↑ Mit
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
wird die Betragsfunktion gekennzeichnet.
↑ Fichtenholz, op. cit., S. 489, 656