Hyperbolische Isometrie

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In der Mathematik sind hyperbolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

ist eine hyperbolische Isometrie, wenn sie keinen Fixpunkt hat, es aber eine unter invariante Geodäte gibt.

Insbesondere hat eine hyperbolische Isometrie zwei Fixpunkte im Unendlichen.

Sei das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und eine durch

mit gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass eine Isometrie ist und die Geodäte durch und invariant lässt. Es ist also eine hyperbolische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen beschrieben werden. Im Fall der hyperbolischen Ebene ist die durch eine Matrix beschriebene Isometrie genau dann hyperbolisch, wenn für die Spur von die Ungleichung

gilt. Im Fall ist diese Bedingung hinreichend, aber nicht notwendig für eine hyperbolische Isometrie. Das obige Beispiel entspricht der Matrix .

Äquivalente Charakterisierung

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Für eine Isometrie sei definiert durch

.

Die Isometrie ist genau dann hyperbolisch, wenn es ein mit

gibt und dieses Infimum positiv ist.

Die Menge

ist dann eine Vereinigung von invarianten Geodäten.

Loxodromische Isometrien

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Falls der hyperbolische Raum mit ist, dann werden die oben definierten hyperbolischen Isometrien auch als loxodromische Isometrien bezeichnet. Als hyperbolische Isometrien bezeichnet man dann nur diejenigen loxodromischen Isometrien, die als Transvektionen entlang einer invarianten Geodäten wirken, also keine Drehung um diese Geodäte bewirken.

  • Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
  • Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6