Parabolische Isometrie

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In der Mathematik sind parabolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Für eine Isometrie sei definiert durch

.

Die Isometrie ist parabolisch, wenn es kein mit

gibt, wenn also das Infimum nicht angenommen wird.

Fixpunkt im Unendlichen

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Eine parabolische Isometrie hat einen Fixpunkt im Unendlichen. Dieser Fixpunkt einer parabolischen Isometrie wird als parabolischer Fixpunkt bezeichnet. Die parabolische Isometrie lässt alle Horosphären um diesen Punkt invariant.[1]

Sei das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und eine durch

mit gegebene Abbildung. Aus der Definition der hyperbolischen Metrik folgt, dass eine Isometrie ist und gilt. Insbesondere ist

.

Weil in der hyperbolischen Ebene keinen Fixpunkt hat, gibt es aber kein mit , das Infimum wird also nicht angenommen. Die Isometrie ist parabolisch.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen beschrieben werden. In beiden Fällen ist die durch eine Matrix beschriebene Isometrie genau dann parabolisch, wenn für die Spur der Matrix

gilt. Das obige Beispiel entspricht der Matrix .

  • Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
  • Koji Fujiwara, Koichi Nagano, Takashi Shioya: Fixed point sets of parabolic isometries of CAT(0)-spaces. Comment. Math. Helv. 81 (2006), no. 2, 305–335.

Einzelnachweise

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  1. Bridson-Haefliger, op. cit., Proposition 8.25