Maaßsche Formen oder auch Maaßsche Wellenformen werden in der Theorie der automorphen Formen, einem Teilgebiet der Mathematik untersucht. Im klassischen Sinne sind Maaßsche Formen komplexwertige, glatte Funktionen der oberen Halbebene
, die ein ähnliches Transformationsverhalten unter der Operation einer diskreten Untergruppe
von
auf der oberen Halbebene aufweisen, wie das der Modulformen. Sie sind Eigenformen des hyperbolischen Laplace-Operators
auf
und erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen in den Spitzen eines Fundamentalbereichs von
. Im Gegensatz zu den Modulformen müssen Maaßsche Formen nicht holomorph sein. Sie wurden als erstes von Hans Maaß im Jahre 1949 untersucht.
Die spezielle lineare Gruppe
![{\displaystyle G:=SL_{2}(\mathbb {R} )={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} )\,\mid \,ad\,-\,bc=1{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069607a5b9e01b346b2a94c8068ee941777fd94)
operiert auf der oberen Halbebene
durch die Möbius-Transformationen
.
Diese Operation kann zu einer Operation auf
erweitert werden, indem man definiert:
,
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.\infty :=\lim \limits _{\operatorname {Im} (z)\rightarrow \infty }{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.z}={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&,{\text{ falls }}c\neq 0\\\infty &,{\text{ falls }}c=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e63c1e3969a28ea70b2a08f3a47fe75f2a0456)
Auf der oberen Halbebene
ist durch
![{\displaystyle \mathrm {d} \mu :={\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46390f0c8f41afac3308f965a980da0b5bd25d8c)
ein unter der Operation von
invariantes Radon-Maß gegeben.
Sei
eine diskrete Untergruppe von
. Ein Fundamentalbereich zu
ist eine offene Teilmenge
, sodass ein Vertretersystem
von
existiert mit
und
.
Ein Fundamentalbereich für die Modulgruppe
ist gegeben durch
![{\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {H} \,\mid \,|Re(z)|<{\frac {1}{2}}\,,\,|z|<1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83758a2fc922c595fc8cefb5249d4237f0e035f9)
(siehe Modulform). Eine Funktion
heißt
-invariant, falls
für jedes
und jedes
gilt. Für jede messbare
-invariante Funktion
gilt dann
,
wobei das
auf der rechten Seite der Gleichung das auf dem Quotienten induzierte Maß darstellt.
Der hyperbolische Laplace-Operator auf der Halbebene
ist definiert durch
,
mit
![{\displaystyle \Delta (f):=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95216f24717a851b78d70801d5205305f264f65)
Dies entspricht gerade dem (verallgemeinerten) Laplace-Operator beziehungsweise Laplace-Beltrami-Operator bezüglich der hyperbolischen Metrik auf der hyperbolischen Ebene
.
Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe
ist eine glatte Funktion
auf
, sodass
für alle
,
,
für ein
.
- Es existiert ein
mit
für ![{\displaystyle y\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69417d586f532c3b8b1cb92146befe30ae969c0b)
Gilt außerdem
für jedes ![{\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1cbe3d760aba37c017406a9afae31654803eb8)
dann nennt man
eine Maaßsche Spitzenform.
Sei nun
eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen
.
Damit hat
eine Fourier-Entwicklung der Gestalt
,
mit Koeffizientenfunktionen
Man kann nachrechnen, dass
genau dann eine Maaßsche Spitzenform ist, wenn
gilt. Diese Koeffizientenfunktionen können genau angegeben werden, dafür benötigt man die K-Besselfunktion.
Definition: Die K-Besselfunktion ist für
definiert durch
.
Das Integral konvergiert für
lokal gleichmäßig in
und es gilt die Abschätzung
falls
.
Damit fällt
betragsmäßig exponentiell für
. Außerdem gilt
für alle
,
.
Sei
der Eigenwert der Maaßschen Wellenform
bezüglich
. Sei
die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit
. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von
![{\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)\,\,\,,\,\,\,c_{n}\in \mathbb {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142be7f228943d084ea4f77f796589c989593498)
falls
. Ist
, so gilt
mit
.
Beweis: Es gilt
. Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für
![{\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f73af0f7d438395d0a503583cf15126d399876)
Zusammen folgt für
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\right)\\&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaf847eabdf0e7a05c4e170d5c26724e7b505ec)
In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der
-te Fourierkoeffizient von
genau
ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da
beliebig oft stetig differenzierbar in y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:
![{\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef76c3677118ca365e44d569a0ab5ff686efecb)
Für
kann man zeigen, dass für jede Lösung
dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten
existieren, sodass gilt
.
Für
ist jede Lösung
der obigen Differentialgleichung von der Form
![{\displaystyle f(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}\left(2\pi |n|y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698720518f1e5f135061665910c795c6214e890e)
für eindeutige
, wobei
die K-Besselfunktion und
die I-Besselfunktionen ist (Siehe O. Forster).
Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von
![{\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc74e3889836d60886fc64e4ff0874df210589e2)
(also
) für ein eindeutiges
Gerade und ungerade Maaßsche Wellenformen: Sei
. Dann operiert
auf allen Funktionen
der oberen Halbebene
via
. Man rechnet leicht nach, dass
mit
vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform
gerade, wenn
und ungerade wenn
. Ist
eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit
eine gerade Maaßsche Wellenform und
eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt
.
Sei
eine Maaßsche Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von
als
.
Dann konvergiert die Reihe
für
und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen.
Ist
gerade oder ungerade, so definiert man
![{\displaystyle \Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\epsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\epsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d885950b799accd125363bfd43a131d31adad)
wobei
, falls
gerade und
, falls
ungerade ist. Dann erfüllt
die Funktionalgleichung
.
Beweis:
Sei
eine Maaßsche Spitzenform.
Zuerst machen wir uns klar, wie schnell die Fourierkoeffizienten von
wachsen.
Behauptung: Es gilt
Beweis: Da
eine Maaßsche Spitzenform ist, existieren
, sodass für
die Ungleichung
gilt. Ist
und ist
konjugiert zu
modulo
, so rechnet man leicht nach, dass
gilt. Da
invariant unter
ist, gilt für
:
.
Also gilt für
die Abschätzung
.
Für
und
gilt damit
.
Damit finden wir eine Konstante
, sodass für jedes
gilt:
![{\displaystyle |c_{n}|\leq Dr^{N+{\frac {1}{2}}}|K_{\nu }(2\pi )|^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7356c0124fb7a963e27560c6a72b7cd3a39057b)
Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und
ist eine Maaßsche Spitzenform. Zusammen folgt, dass
auf dem Fundamentalbereich von
beschränkt ist und damit auf
. Damit können wir den obigen Beweis mit
wiederholen und erhalten
für ein
, also
.
Damit konvergiert die Reihe
für
.
Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von
.
Für
konvergiert das Integral
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9b30771b31b78f6e53ea883a2cd76c6b344d9)
absolut und es gilt
.
Ist
nun gerade oder ungerade, folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten
für alle
.
Sei
gerade. Der Fall
ungerade funktioniert ähnlich und wird deswegen hier nicht gezeigt. Dann gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}&=2\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)\,\mathrm {d} y\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)\mathrm {d} y\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(2\pi n)^{-s}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(y)\mathrm {d} y\\&=2(2\pi )^{-s}\left(\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}\right)2^{s-2}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\pi ^{s}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)L(s,f)\\&={\frac {1}{2}}\Lambda (s,f)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc8fcc6a1fd660dde31b1c1e493d0c2b8897ef6)
Das Vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für
gilt:
![{\displaystyle |K_{s}|\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb3b9f254a8f0f100c021d9c3e07a5853c52883)
Ebenso zeigt man, dass
für
exponentiell fällt.
Wir definieren nun
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}(s,f)&:=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\\Lambda _{2}(s,f)&:=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4667f10dc5aa4c670663d69c7b7b7fbec20c8660)
Damit gilt
. Da
exponentiell fällt für
, konvergiert
für jedes
und damit ist
eine ganze Funktion (komplexe Analysis). Nun ist
aber invariant unter
, womit insbesondere
folgt.
Wir erhalten nun:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{2}(s,f)&:=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\int _{1}^{\infty }f(i{\frac {1}{y}})y^{-s+{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{(1-s)-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\Lambda _{1}(1-s,f)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56897795f3a70b2a16f990eb916510760fb1979d)
Damit ist auch
eine ganze Funktion und damit ist
ganz. Insbesondere kann man damit
zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen. Weiterhin gilt für
die Funktionalgleichung
.
Damit ist
insbesondere auf ganz
holomorph fortsetzbar und der Satz ist bewiesen.
Die nichtholomorphe Eisensteinreihe wird für
und
definiert durch
,
wobei
die Gammafunktion ist.
Die obige Reihe konvergiert absolut in
für
und lokal gleichmäßig in
, denn man kann zeigen, dass die Reihe
absolut in
konvergiert, wenn
. Genauer konvergiert die Summe sogar gleichmäßig auf jeder Menge
, für jedes Kompaktum
und jedes
.
Insbesondere ist
als Limes stetiger Funktionen stetig in
. Für festes
ist
sogar holomorph in
, da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.
Wir zeigen hier nur die
-Invarianz und die Eigengleichung. Einen Beweis der Glattheit findet man bei Deitmar oder Bump. Die Wachstumsbedingung folgt aus dem Satz der Fourier-Entwicklung von E.
Zuerst zur
-Invarianz. Sei
![{\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fed7c9ba59248f3fc3dd31133a8705281cc2bd9)
die Stabilisatorgruppe von
bezüglich der Operation von
auf
. Dann gilt Folgendes.
Lemma: Die Abbildung
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\infty }\backslash \Gamma &\to \{\pm (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}/\{\pm 1\}\mid \operatorname {ggT} (x,y)=1\}\\\Gamma _{\infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}&\mapsto \pm (c,d)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df44794291b766e3c6c4968bf8cbc43dbc90baec)
ist eine Bijektion.
(a) Sei
. Dann konvergiert
absolut in
für
und es gilt:
![{\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba8589960ad37febc96ad08c2ebe2422b75feda)
(b) Es gilt
für jedes
.
Beweis:
Zu (a): Für
gilt
. Damit folgt mit obigem Lemma
![{\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897c03d21d30dc4d20b25054ac0641237e7f375b)
Damit folgt die absolute Konvergenz in
für
.
Des Weiteren folgt
,
denn die Abbildung
ist eine Bijektion.
Damit folgt (a).
Zu (b): Für
gilt
.
Nach (a) ist damit auch
invariant unter
.
Wir benötigen Folgendes.
Lemma:
vertauscht mit der Operation von
auf
. Genauer gilt für jedes
:
![{\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc4d7e9e9b4347e087e1070dcf811ec2933e756)
Beweis: Die Gruppe
wird erzeugt von den Elementen der Form
mit
,
mit
und
. Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes
.
Wegen
(vergleiche oben) reicht es, die Eigengleichung für
zu zeigen. Es gilt:
![{\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \operatorname {Im} (\gamma z)^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f36cf6ac2ab37cc8d105861471d80af02e0fde)
Außerdem gilt
.
Da der Laplace-Operator mit der Operation von
vertauscht, folgt für jedes
und damit
.
Damit folgt für
die Eigengleichung auch für
. Um die Behauptung für jedes
zu erhalten, betrachte die Funktion
. Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von
explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für
, damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes
.
Die nichtholomorphe Eisensteinreihe besitzt eine Fourier-Entwicklung
![{\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9fb8b7b1b8ba51a16f4f063965ee72ca3877c9)
wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{2-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)\,,\,n\neq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ba86ae1a37b32e17faec7e8baf2e169b5ff014)
Für
hat
eine meromorphe Fortsetzung in
auf ganz
. Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in
.
Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes
die Funktionalgleichung
![{\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5c1cd0a0218178651d8d095f0582efb362eabe)
und es gilt lokal gleichmäßig in
die Wachstumsbedingung
![{\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1309a74f24a1d03120ec42f025a2d2dadbbc4367)
wobei
.
Die meromorphe Fortsetzung von E ist von großer Bedeutung in der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators.
Für
sei
der Kern der kanonischen Projektion
.
Man nennt
Hauptkongruenzgruppe der Stufe
.
Eine Untergruppe
heißt Kongruenzuntergruppe, falls ein
existiert, sodass
.
Alle Kongruenzuntergruppen sind diskret.
Es sei
. Für eine Kongruenzuntergruppe
sei
das Bild von
in
.
Es sei S ein Vertretersystem von
, dann ist
![{\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd20a397d167d0e9901f91e2befe6d4829747c10)
ein Fundamentalbereich für
. Die Menge
ist durch den Fundamentalbereich
eindeutig festgelegt. Zudem ist
endlich.
Man nennt die Punkte
für
Spitzen des Fundamentalbereichs
. Sie liegen komplett in
.
Für jede Spitze
existiert ein
mit
.
Sei
eine Kongruenzuntergruppe von
und
.
Wir verallgemeinern den hyperbolischen Laplace-Operator
zum hyperbolischen Laplace-Operator
vom Gewicht
, wobei:
![{\displaystyle \Delta _{k}\colon C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6f50a6a549a9c589bcf254c59721098545721e)
![{\displaystyle \Delta _{k}(f)=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial f}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472425efe8d5d3ab5bb33893e96a8ef39cbfefbb)
Für
definieren wir eine Rechtsoperation von
auf
durch
![{\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(g.z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d31ece3e5bb89ec8f8d9b546c91c8e8df9cb0d2)
wobei
.
Man kann zeigen, dass für jedes
,
und jedes
gilt:
![{\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed15cda23d4a81ee61f391f796a467154a7d7fa)
Damit operiert
auf dem Vektorraum
.
Definition: Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht
zur Gruppe
ist eine Funktion
, die eine Eigenform von
ist und von moderatem Wachstum an den Spitzen ist.
Zum Begriff des moderaten Wachstums an den Spitzen:
Ist
eine Kongruenzuntergruppe, dann ist
eine Spitze und man nennt eine Funktion
aus
von moderatem Wachstum bei
, falls
durch ein Polynom beschränkt werden kann, wenn
. Sei
nun eine andere Spitze. Dann existiert ein
mit
. Sei dann
. Man rechnet nach, dass dann
in
liegt, wobei
die Kongruenzuntergruppe
ist. Man sagt nun
ist von moderatem Wachstum an der Spitze
, falls
von moderatem Wachstum an der Spitze
ist.
Enthält
die Hauptkongruenzgruppe der Stufe
, so nennt man
kuspidal bei unendlich, falls
für jedes ![{\displaystyle z\in \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bea2238e9cd11703c95a725ba2f93b20290951)
gilt. Man nennt
kuspidal bei einer Spitze
, falls
kuspidal bei unendlich ist.
Ist
an jeder Spitze kuspidal, nennt man
Spitzenform.
Maaßsche Wellenformen, die kuspidal sind, nennen wir Maaßsche Spitzenformen.
Wir geben ein Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht
zur Modulgruppe:
Beispiel: Sei
eine Modulform vom Gewicht
zur Gruppe
. Dann ist
eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht
zur Gruppe
.
Beweis: Da
eine Modulform ist, ist
holomorph, also insbesondere glatt in
. Damit ist
glatt. Sei nun
. Dann gilt
.
Da
eine Modulform ist, ist
insbesondere holomorph in
, d. h.
für
. Damit existiert aber ein
, sodass
für
.
Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für
. Da
holomorph ist, gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also
![{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}=-i{\frac {\partial g}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6173da7ac594bc5dc864d9b138ae1ce537edf2)
und damit folgt mit dem Satz von Schwarz
.
Es gilt dann:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{k}(y^{\frac {k}{2}}g)&=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{\frac {k}{2}}g}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{\frac {k}{2}}g}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial y^{\frac {k}{2}}g}{\partial x}}\\&=-y^{2}\left(-y^{\frac {k}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}+{\frac {k}{2}}\left({\frac {k}{2}}-1\right)y^{{\frac {k}{2}}-2}g+ky^{{\frac {k}{2}}-1}{\frac {\partial g}{\partial y}}+y^{\frac {k}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}\right)+ky^{{\frac {k}{2}}+1}{\frac {\partial g}{\partial y}}\\&={\frac {k}{2}}\left(1-{\frac {k}{2}}\right)y^{\frac {k}{2}}g\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a42a59a0d004ef1b0cf1037dd730438e273c48)
Damit ist
eine Maaßsche Form vom Gewicht
zur Gruppe
.
Sei
eine Kongruenzuntergruppe von
. Es sei
der Vektorraum aller messbaren Funktionen
mit
für jedes
und
![{\displaystyle ||f||^{2}:=\int _{\Gamma \setminus \mathbb {H} }|f(z)|^{2}\,{\frac {dx\,dy}{y^{2}}}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52648aa481d3288210f996742809bbbf90d3a0d)
modulo Funktionen mit
. Das Integral ist wohldefiniert, da die Funktion
-invariant ist. Der Raum
ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
.
Der Operator
kann auf einem in
dichten Teilraum
definiert werden. Dort ist er ein positiv semidefiniter symmetrischer Operator. Es lässt sich zeigen, dass es eine eindeutige selbstadjungierte Fortsetzung auf
gibt.
Wir bezeichnen mit
den Raum aller Spitzenformen in
. Dann operiert
auf
und hat dort ein reines Eigenwertspektrum. Das Spektrum auf dem orthogonalen Komplement hat einen kontinuierlichen Anteil und wird mit der Hilfe von (modifizierten) nicht-holomorphen Eisensteinreihen, deren meromorphen Fortsetzungen und deren Residuen beschrieben. Für eine genaue Analyse siehe Bump oder Iwaniec. Ist
eine diskrete (torsionsfreie) Untergruppe, sodass der Quotient
kompakt ist, vereinfacht sich das Spektralproblem. Das liegt vor allem daran, dass eine diskrete cokompakte Untergruppe keine Spitzen besitzt. Hier ist der komplette Raum
eine Summe von Eigenräumen des Operators
.
ist eine unimodulare lokalkompakte Gruppe mit der Teilraumtopologie des
.
Sei
wieder eine Kongruenzuntergruppe. Da
diskret in
liegt, ist
abgeschlossen in
. Die Gruppe
ist unimodular, und da das Zählmaß ein Haar-Maß auf der diskreten Gruppe
ist, ist auch
unimodular. Damit existiert nach der Quotientenintegralformel ein
-rechtsinvariantes Radon-Maß
auf dem lokalkompakten Raum
. Wir betrachten nun den zu dem Maß
gehörigen
-Raum
.
Der Raum
zerfällt in eine direkte Hilbert-Summe
![{\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \setminus G,k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2393e7fffb9da23b80a0fa895f1dad9f7dc8916b)
wobei
und
für
.
Der Hilbertraum
kann isometrisch in den Hilbertraum
eingebettet werden. Die Isometrie ist gegeben durch die Abbildung
![{\displaystyle \psi _{k}\colon L^{2}(\Gamma \setminus \mathbb {H} \,,\,k)\to L^{2}(\Gamma \setminus G\,,\,k)\,,\,\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b47d0b736f5c6948fd0e591ac9e79c406fd1e48)
Damit können wir alle Maaßschen Spitzenformen zur Kongruenzgruppe
als Elemente von
auffassen.
ist ein Hilbertraum, auf dem
via Rechtstranslation operiert:
,
wobei
und
.
Man rechnet leicht nach, dass
eine unitäre Darstellung von
auf dem Hilbertraum
ist. Man will nun die Darstellung
in eine Summe von irreduziblen Unterdarstellungen zerlegen. Es stellt sich heraus, dass dies nur möglich ist, wenn
cokompakt ist. Ansonsten kommt noch ein kontinuierliches Hilbert-Integral hinzu.
Das Interessante ist, dass die Lösung dieses Problems auch das Spektralproblem der Maaßschen Formen löst. Für eine genaue Analyse dieses Zusammenhangs siehe auch Bump.
Für einen Ring
mit Eins sei
die Gruppe der
-Matrizen mit Einträgen in
und in
invertierbarer Determinante.
Sei
der Ring der (rationalen) Adele,
der Ring der endlichen (rationalen) Adele und für eine Primzahl
sei
der Körper der p-adischen Zahlen und
der Ring der ganzen p-adischen Zahlen.
Es sei
. Sowohl
als auch
sind mit den jeweiligen Teilraumtopologien von
beziehungsweise
lokalkompakte unimodulare Gruppen.
Die Gruppe
ist isomorph zur Gruppe
, wobei hiermit das eingeschränkte direkte Produkt (siehe Adelring) der Gruppen
bezüglich der kompakten, offenen Untergruppen
von
gemeint ist. Dann ist
mit der eingeschränkten Produkttopologie eine lokalkompakte Gruppe.
Die Gruppe
ist isomorph zur Gruppe
![{\displaystyle G_{fin}\times G_{\mathbb {R} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855e40f4b08f6c419f0faefaffed83d10475c075)
und ist eine lokalkompakte Gruppe mit der Produkttopologie, da
und
lokalkompakte Gruppen sind.
Mit
bezeichnen wir den Ring
. Die Untergruppe
![{\displaystyle G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e98eb51cf1bd3008a036b7c0fc40ef7ac1e9067)
ist eine maximal kompakte, offene Untergruppe von
und wird durch die Abbildung
auch als Untergruppe von
aufgefasst.
Mit
bezeichnen wir das Zentrum von
, also Diagonalmatrizen der Form
, wobei
. Wir fassen
als Untergruppe von
auf via der Einbettung
.
Die Gruppe
wird diagonal in
eingebettet, was möglich ist, da die vier Einträge eines
nur endlich viele Primteiler besitzen und damit
in
für alle bis auf endlich viele Primzahlen
liegt.
Sei
die Gruppe aller
mit
, wobei hier der Betrag des Idels
gemeint ist. Man rechnet sofort nach, das
sogar in
liegt (Produktformel).
Mittels der Injektion
kann man die Gruppen
und
miteinander identifizieren.
Für
gilt folgender Satz:
Die Gruppe
liegt dicht in
und diskret in
. Der Quotient
ist nicht kompakt, hat aber endliches Haarmaß.
Damit ist
insbesondere ein Gitter von
, wie es im klassischen Fall die Modulgruppe von
war. Zudem folgt, dass
unimodular ist.
Wir wollen nun die klassischen Maaßschen Spitzenformen von Gewicht 0 zur Modulgruppe als Funktionen auf
auffassen. Das funktioniert mit dem starken Approximationstheorem, das besagt, dass die Abbildung
![{\displaystyle \psi \colon G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a06f6d191ea6adc95ff110f1f54d783d07d09a)
ein
-äquivarianter Homöomorphismus ist. Es gilt dann
![{\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\setminus G_{\mathbb {R} }\,\,{\tilde {\to }}\,\,G_{\mathbb {Q} }\setminus G_{\mathbb {A} }\,\,/\,\,G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af64d78f1798167b9ce0bedc422fc1ffe7c01db)
und damit auch
![{\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\,Z_{\mathbb {R} }\setminus G_{\mathbb {R} }\,\,{\tilde {\to }}\,\,G_{\mathbb {Q} }\,Z_{\mathbb {R} }\setminus G_{\mathbb {A} }\,\,/\,\,G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961137f4943c617aaf8c680f90006d829d0e15c4)
Nun liegen Maaßsche Spitzenformen vom Gewicht Null zur Modulgruppe
in
.
Dieser Raum ist aber nach dem starken Approximationstheorem unitär isomorph zu
![{\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\,Z_{\mathbb {R} }\setminus G_{\mathbb {A} }\,\,/\,\,G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\,\,{\tilde {=}}\,\,L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\,Z_{\mathbb {R} }\setminus G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb49c7a16143fb189bfb879c0390c278b025e73)
was ein Unterraum von
ist.
Mit dem gleichen Argument kann man damit auch die klassischen holomorphen Spitzenformen als Elemente von
auffassen. Mit einer kleinen Verallgemeinerung des starken Approximationstheorems erkennt man, dass man alle klassischen Maaßschen Spitzenformen (als auch holomorphen Spitzenformen) von beliebigem Gewicht zu jeder Kongruenzuntergruppe
in
einbetten kann.
In der Literatur wird
oft als Menge der automorphen Formen (der Adelgruppe) bezeichnet. Ersetzt man die
Bedingung durch geeignete Wachstumsbedingungen,[1] gehören auch die eingebetteten nichtholomorphen Eisensteinreihen zu den automorphen Formen, die selbst nicht
-integrierbar sind.
Für einen Ring
sei
die Menge aller
wobei
. Diese Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe von
.
Man nennt eine Funktion
Spitzenform, falls
![{\displaystyle \int _{N_{\mathbb {Q} }\setminus N_{\mathbb {A} }}\,f(nx)\,dn=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d2b4e34d4eb11fe6b096cc3683081e0ea55d80)
für fast alle
gilt. Der Vektorraum aller Spitzenformen bezeichnet man mit
oder kurz mit
.
ist abgeschlossen und invariant unter der rechtsregulären Darstellung von
.
Man ist nun an einer Zerlegung von
in irreduzible abgeschlossene Unterräume unter der rechtsregulären Darstellung interessiert.
Genauer gilt folgender Satz:
Der Raum
zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Hilberträume mit endlichen Vielfachheiten:
![{\displaystyle L_{cusp}^{2}={\widehat {\bigoplus }}_{\pi \in {\widehat {G_{\mathbb {A} }}}}N_{cusp}(\pi )\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902060ac3d3e9907fa196415d13e0488bfad7d9b)
Die Bestimmung der Vielfachheiten
ist eines der schwierigsten und wichtigsten Probleme der Theorie der automorphen Formen.
Eine irreduzible Darstellung
der Gruppe
heißt kuspidal, wenn sie isomorph zu einer Unterdarstellung von
ist.
Eine irreduzible Darstellung
der Gruppe
heißt zulässig, falls es eine kompakte Menge
gibt, sodass
für jedes
.
Man kann zeigen, dass jede kuspidale Darstellung zulässig ist.
Die Zulässigkeit wird gebraucht, um den sogenannten Tensorproduktsatz anzuwenden, der besagt, dass jede irreduzible unitäre Darstellung der Gruppe
isomorph zu einem unendlichen Tensorprodukt
ist, wobei die
irreduzible Darstellungen der Gruppe
sind, die fast alle unverzweigt sind.
(Eine Darstellung
der Gruppe
heißt unverzweigt, falls der Vektorraum
:![{\displaystyle V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\{v\in V_{\pi _{p}}\,\mid \,\forall \,k\in K_{p}:\,\pi _{p}(k)v=v\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1052f2e61801a652a66c9c7bb4020b0e3d4e3a)
nicht der Nullraum ist.)
Zur Konstruktion eines unendlichen Tensorprodukts siehe zum Beispiel Deitmar, Kap.7.
Es sei
eine irreduzible zulässige unitäre Darstellung von
. Nach dem Tensorproduktsatz ist
von der Form
, wobei die
irreduzible Darstellungen der Gruppen
sind, die fast alle unverzweigt sind.
Es sei
eine endliche Stellenmenge, sodass
und
alle verzweigten Stellen enthält. Man definiert die globale L-Funktion von
als
![{\displaystyle L^{F}(\pi ,s):=\prod _{p\notin F}L(\pi _{p},s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2871ca085acdb276458b90be398e15f42b3e31cf)
wobei
eine sogenannte lokale L-Funktion der lokalen Darstellung
ist. Für eine ausführliche Konstruktion einer lokalen L-Funktion siehe zum Beispiel Anton Deitmar: Automorphe Formen, Kapitel 8.2.
Ist
eine kuspidale Darstellung, so setzt die L-Funktion
zu einer meromorphen Funktion auf
fort. Das ist möglich, da
, wie auch die klassischen L-Funktionen, bestimmte Funktionalgleichungen erfüllt.
Einer adelisierten Maaßschen Spitzenformen
(oder auch einer holomorphen Spitzenform) kann eine kuspidale Darstellung
zugewiesen werden, sodass die L-Funktion
mit der klassischen L-Funktion
übereinstimmt. In diesem Sinne sind die automorphen L-Funktionen eine Verallgemeinerung der klassischen L-Funktionen. Sie wurden zum ersten Mal 1969 von Robert Langlands untersucht.
- ↑ Siehe zum Beispiel Gelbart: Automorphic forms of the adele group.