Maaßsche Wellenform

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Maaßsche Formen oder auch Maaßsche Wellenformen werden in der Theorie der automorphen Formen, einem Teilgebiet der Mathematik untersucht. Im klassischen Sinne sind Maaßsche Formen komplexwertige, glatte Funktionen der oberen Halbebene , die ein ähnliches Transformationsverhalten unter der Operation einer diskreten Untergruppe von auf der oberen Halbebene aufweisen, wie das der Modulformen. Sie sind Eigenformen des hyperbolischen Laplace-Operators auf und erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen in den Spitzen eines Fundamentalbereichs von . Im Gegensatz zu den Modulformen müssen Maaßsche Formen nicht holomorph sein. Sie wurden als erstes von Hans Maaß im Jahre 1949 untersucht.

Die spezielle lineare Gruppe

operiert auf der oberen Halbebene durch die Möbius-Transformationen

.

Diese Operation kann zu einer Operation auf erweitert werden, indem man definiert:

,

Auf der oberen Halbebene ist durch

ein unter der Operation von invariantes Radon-Maß gegeben.

Sei eine diskrete Untergruppe von . Ein Fundamentalbereich zu ist eine offene Teilmenge , sodass ein Vertretersystem von existiert mit

und .

Ein Fundamentalbereich für die Modulgruppe ist gegeben durch

(siehe Modulform). Eine Funktion heißt -invariant, falls für jedes und jedes gilt. Für jede messbare -invariante Funktion gilt dann

,

wobei das auf der rechten Seite der Gleichung das auf dem Quotienten induzierte Maß darstellt.

Klassische Maaßsche Wellenformen

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Definition des hyperbolischen Laplace-Operators

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Der hyperbolische Laplace-Operator auf der Halbebene ist definiert durch

,

mit

Dies entspricht gerade dem (verallgemeinerten) Laplace-Operator beziehungsweise Laplace-Beltrami-Operator bezüglich der hyperbolischen Metrik auf der hyperbolischen Ebene .

Definition einer Maaßschen Wellenform

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Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe ist eine glatte Funktion auf , sodass

  1. für alle , ,
  2. für ein .
  3. Es existiert ein mit für

Gilt außerdem

für jedes

dann nennt man eine Maaßsche Spitzenform.

Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen

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Sei nun eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen

.

Damit hat eine Fourier-Entwicklung der Gestalt

,

mit Koeffizientenfunktionen Man kann nachrechnen, dass genau dann eine Maaßsche Spitzenform ist, wenn gilt. Diese Koeffizientenfunktionen können genau angegeben werden, dafür benötigt man die K-Besselfunktion.

Definition: Die K-Besselfunktion ist für definiert durch

.

Das Integral konvergiert für lokal gleichmäßig in und es gilt die Abschätzung

falls .

Damit fällt betragsmäßig exponentiell für . Außerdem gilt für alle , .

Satz: Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform

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Sei der Eigenwert der Maaßschen Wellenform bezüglich . Sei die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit . Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von

falls . Ist , so gilt

mit .

Beweis: Es gilt . Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für

Zusammen folgt für :

In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der -te Fourierkoeffizient von genau ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da beliebig oft stetig differenzierbar in y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Für kann man zeigen, dass für jede Lösung dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten existieren, sodass gilt .

Für ist jede Lösung der obigen Differentialgleichung von der Form

für eindeutige , wobei die K-Besselfunktion und die I-Besselfunktionen ist (Siehe O. Forster).

Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von

(also ) für ein eindeutiges

Gerade und ungerade Maaßsche Wellenformen: Sei . Dann operiert auf allen Funktionen der oberen Halbebene via . Man rechnet leicht nach, dass mit vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform gerade, wenn und ungerade wenn . Ist eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit eine gerade Maaßsche Wellenform und eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt .

Satz: L-Funktion einer Maaßschen Wellenform

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Sei eine Maaßsche Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von als

.

Dann konvergiert die Reihe für und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen.

Ist gerade oder ungerade, so definiert man

wobei , falls gerade und , falls ungerade ist. Dann erfüllt die Funktionalgleichung

.

Beweis:

Sei eine Maaßsche Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar, wie schnell die Fourierkoeffizienten von wachsen.

Behauptung: Es gilt

Beweis: Da eine Maaßsche Spitzenform ist, existieren , sodass für die Ungleichung gilt. Ist und ist konjugiert zu modulo , so rechnet man leicht nach, dass gilt. Da invariant unter ist, gilt für :

.

Also gilt für die Abschätzung

.

Für und gilt damit

.

Damit finden wir eine Konstante , sodass für jedes gilt:

Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und ist eine Maaßsche Spitzenform. Zusammen folgt, dass auf dem Fundamentalbereich von beschränkt ist und damit auf . Damit können wir den obigen Beweis mit wiederholen und erhalten für ein , also .

Damit konvergiert die Reihe für .

Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von .

Für konvergiert das Integral

absolut und es gilt

.

Ist nun gerade oder ungerade, folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten für alle .

Sei gerade. Der Fall ungerade funktioniert ähnlich und wird deswegen hier nicht gezeigt. Dann gilt:

Das Vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für gilt:

Ebenso zeigt man, dass für exponentiell fällt.

Wir definieren nun

Damit gilt . Da exponentiell fällt für , konvergiert für jedes und damit ist eine ganze Funktion (komplexe Analysis). Nun ist aber invariant unter , womit insbesondere folgt.

Wir erhalten nun:

Damit ist auch eine ganze Funktion und damit ist ganz. Insbesondere kann man damit zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen. Weiterhin gilt für die Funktionalgleichung

.

Damit ist insbesondere auf ganz holomorph fortsetzbar und der Satz ist bewiesen.

Beispiel: Die nichtholomorphe Eisensteinreihe E

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Die nichtholomorphe Eisensteinreihe wird für und definiert durch

,

wobei die Gammafunktion ist.

Die obige Reihe konvergiert absolut in für und lokal gleichmäßig in , denn man kann zeigen, dass die Reihe absolut in konvergiert, wenn . Genauer konvergiert die Summe sogar gleichmäßig auf jeder Menge , für jedes Kompaktum und jedes .

Insbesondere ist als Limes stetiger Funktionen stetig in . Für festes ist sogar holomorph in , da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

Satz: E ist eine Maaßsche Wellenform

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Wir zeigen hier nur die -Invarianz und die Eigengleichung. Einen Beweis der Glattheit findet man bei Deitmar oder Bump. Die Wachstumsbedingung folgt aus dem Satz der Fourier-Entwicklung von E.

Zuerst zur -Invarianz. Sei

die Stabilisatorgruppe von bezüglich der Operation von auf . Dann gilt Folgendes.

Lemma: Die Abbildung

ist eine Bijektion.

Proposition: E ist Γ(1)-invariant

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(a) Sei . Dann konvergiert absolut in für und es gilt:

(b) Es gilt für jedes .

Beweis:

Zu (a): Für gilt . Damit folgt mit obigem Lemma

Damit folgt die absolute Konvergenz in für .

Des Weiteren folgt

,

denn die Abbildung ist eine Bijektion.

Damit folgt (a).

Zu (b): Für gilt

.

Nach (a) ist damit auch invariant unter .

Proposition: E ist eine Eigenform des hyperbolischen Laplace-Operators

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Wir benötigen Folgendes.

Lemma: vertauscht mit der Operation von auf . Genauer gilt für jedes :

Beweis: Die Gruppe wird erzeugt von den Elementen der Form mit , mit und . Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes .

Wegen (vergleiche oben) reicht es, die Eigengleichung für zu zeigen. Es gilt:

Außerdem gilt

.

Da der Laplace-Operator mit der Operation von vertauscht, folgt für jedes

und damit .

Damit folgt für die Eigengleichung auch für . Um die Behauptung für jedes zu erhalten, betrachte die Funktion . Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für , damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes .

Satz zur Fourier-Entwicklung von E

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Die nichtholomorphe Eisensteinreihe besitzt eine Fourier-Entwicklung

wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch:

Für hat eine meromorphe Fortsetzung in auf ganz . Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in .

Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes die Funktionalgleichung

und es gilt lokal gleichmäßig in die Wachstumsbedingung

wobei .

Die meromorphe Fortsetzung von E ist von großer Bedeutung in der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators.

Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

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Kongruenzuntergruppen

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Für sei der Kern der kanonischen Projektion

.

Man nennt Hauptkongruenzgruppe der Stufe . Eine Untergruppe heißt Kongruenzuntergruppe, falls ein existiert, sodass . Alle Kongruenzuntergruppen sind diskret.

Es sei . Für eine Kongruenzuntergruppe sei das Bild von in . Es sei S ein Vertretersystem von , dann ist

ein Fundamentalbereich für . Die Menge ist durch den Fundamentalbereich eindeutig festgelegt. Zudem ist endlich.

Man nennt die Punkte für Spitzen des Fundamentalbereichs . Sie liegen komplett in .

Für jede Spitze existiert ein mit .

Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

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Sei eine Kongruenzuntergruppe von und .

Wir verallgemeinern den hyperbolischen Laplace-Operator zum hyperbolischen Laplace-Operator vom Gewicht , wobei:

Für definieren wir eine Rechtsoperation von auf durch

wobei .

Man kann zeigen, dass für jedes , und jedes gilt:

Damit operiert auf dem Vektorraum

.

Definition: Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht zur Gruppe ist eine Funktion , die eine Eigenform von ist und von moderatem Wachstum an den Spitzen ist.

Zum Begriff des moderaten Wachstums an den Spitzen:

Ist eine Kongruenzuntergruppe, dann ist eine Spitze und man nennt eine Funktion aus von moderatem Wachstum bei , falls durch ein Polynom beschränkt werden kann, wenn . Sei nun eine andere Spitze. Dann existiert ein mit . Sei dann . Man rechnet nach, dass dann in liegt, wobei die Kongruenzuntergruppe ist. Man sagt nun ist von moderatem Wachstum an der Spitze , falls von moderatem Wachstum an der Spitze ist.

Enthält die Hauptkongruenzgruppe der Stufe , so nennt man kuspidal bei unendlich, falls

für jedes

gilt. Man nennt kuspidal bei einer Spitze , falls kuspidal bei unendlich ist.

Ist an jeder Spitze kuspidal, nennt man Spitzenform.

Maaßsche Wellenformen, die kuspidal sind, nennen wir Maaßsche Spitzenformen.

Wir geben ein Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht zur Modulgruppe:

Beispiel: Sei eine Modulform vom Gewicht zur Gruppe . Dann ist eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht zur Gruppe .

Beweis: Da eine Modulform ist, ist holomorph, also insbesondere glatt in . Damit ist glatt. Sei nun . Dann gilt

.

Da eine Modulform ist, ist insbesondere holomorph in , d. h. für . Damit existiert aber ein , sodass für .

Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für . Da holomorph ist, gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also

und damit folgt mit dem Satz von Schwarz

.

Es gilt dann:

Damit ist eine Maaßsche Form vom Gewicht zur Gruppe .

Das Spektralproblem

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Sei eine Kongruenzuntergruppe von . Es sei der Vektorraum aller messbaren Funktionen mit für jedes und

modulo Funktionen mit . Das Integral ist wohldefiniert, da die Funktion -invariant ist. Der Raum ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

.

Der Operator kann auf einem in dichten Teilraum definiert werden. Dort ist er ein positiv semidefiniter symmetrischer Operator. Es lässt sich zeigen, dass es eine eindeutige selbstadjungierte Fortsetzung auf gibt.

Wir bezeichnen mit den Raum aller Spitzenformen in . Dann operiert auf und hat dort ein reines Eigenwertspektrum. Das Spektrum auf dem orthogonalen Komplement hat einen kontinuierlichen Anteil und wird mit der Hilfe von (modifizierten) nicht-holomorphen Eisensteinreihen, deren meromorphen Fortsetzungen und deren Residuen beschrieben. Für eine genaue Analyse siehe Bump oder Iwaniec. Ist eine diskrete (torsionsfreie) Untergruppe, sodass der Quotient kompakt ist, vereinfacht sich das Spektralproblem. Das liegt vor allem daran, dass eine diskrete cokompakte Untergruppe keine Spitzen besitzt. Hier ist der komplette Raum eine Summe von Eigenräumen des Operators .

Einbettung in den Raum L2(Γ\G)

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ist eine unimodulare lokalkompakte Gruppe mit der Teilraumtopologie des . Sei wieder eine Kongruenzuntergruppe. Da diskret in liegt, ist abgeschlossen in . Die Gruppe ist unimodular, und da das Zählmaß ein Haar-Maß auf der diskreten Gruppe ist, ist auch unimodular. Damit existiert nach der Quotientenintegralformel ein -rechtsinvariantes Radon-Maß auf dem lokalkompakten Raum . Wir betrachten nun den zu dem Maß gehörigen -Raum .

Der Raum zerfällt in eine direkte Hilbert-Summe

wobei und für .

Der Hilbertraum kann isometrisch in den Hilbertraum eingebettet werden. Die Isometrie ist gegeben durch die Abbildung

Damit können wir alle Maaßschen Spitzenformen zur Kongruenzgruppe als Elemente von auffassen.

ist ein Hilbertraum, auf dem via Rechtstranslation operiert:

,

wobei und .

Man rechnet leicht nach, dass eine unitäre Darstellung von auf dem Hilbertraum ist. Man will nun die Darstellung in eine Summe von irreduziblen Unterdarstellungen zerlegen. Es stellt sich heraus, dass dies nur möglich ist, wenn cokompakt ist. Ansonsten kommt noch ein kontinuierliches Hilbert-Integral hinzu. Das Interessante ist, dass die Lösung dieses Problems auch das Spektralproblem der Maaßschen Formen löst. Für eine genaue Analyse dieses Zusammenhangs siehe auch Bump.

Automorphe Darstellungen der Adelgruppe

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Die Gruppe Gl2(A)

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Für einen Ring mit Eins sei die Gruppe der -Matrizen mit Einträgen in und in invertierbarer Determinante. Sei der Ring der (rationalen) Adele, der Ring der endlichen (rationalen) Adele und für eine Primzahl sei der Körper der p-adischen Zahlen und der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Es sei . Sowohl als auch sind mit den jeweiligen Teilraumtopologien von beziehungsweise lokalkompakte unimodulare Gruppen. Die Gruppe ist isomorph zur Gruppe , wobei hiermit das eingeschränkte direkte Produkt (siehe Adelring) der Gruppen bezüglich der kompakten, offenen Untergruppen von gemeint ist. Dann ist mit der eingeschränkten Produkttopologie eine lokalkompakte Gruppe.

Die Gruppe ist isomorph zur Gruppe

und ist eine lokalkompakte Gruppe mit der Produkttopologie, da und lokalkompakte Gruppen sind.

Mit bezeichnen wir den Ring . Die Untergruppe

ist eine maximal kompakte, offene Untergruppe von und wird durch die Abbildung auch als Untergruppe von aufgefasst.

Mit bezeichnen wir das Zentrum von , also Diagonalmatrizen der Form , wobei . Wir fassen als Untergruppe von auf via der Einbettung .

Die Gruppe wird diagonal in eingebettet, was möglich ist, da die vier Einträge eines nur endlich viele Primteiler besitzen und damit in für alle bis auf endlich viele Primzahlen liegt.

Sei die Gruppe aller mit , wobei hier der Betrag des Idels gemeint ist. Man rechnet sofort nach, das sogar in liegt (Produktformel).

Mittels der Injektion kann man die Gruppen und miteinander identifizieren.

Für gilt folgender Satz:

Die Gruppe liegt dicht in und diskret in . Der Quotient ist nicht kompakt, hat aber endliches Haarmaß.

Damit ist insbesondere ein Gitter von , wie es im klassischen Fall die Modulgruppe von war. Zudem folgt, dass unimodular ist.

Adelisierung von Spitzenformen

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Wir wollen nun die klassischen Maaßschen Spitzenformen von Gewicht 0 zur Modulgruppe als Funktionen auf auffassen. Das funktioniert mit dem starken Approximationstheorem, das besagt, dass die Abbildung

ein -äquivarianter Homöomorphismus ist. Es gilt dann

und damit auch

Nun liegen Maaßsche Spitzenformen vom Gewicht Null zur Modulgruppe in

.

Dieser Raum ist aber nach dem starken Approximationstheorem unitär isomorph zu

was ein Unterraum von ist.

Mit dem gleichen Argument kann man damit auch die klassischen holomorphen Spitzenformen als Elemente von auffassen. Mit einer kleinen Verallgemeinerung des starken Approximationstheorems erkennt man, dass man alle klassischen Maaßschen Spitzenformen (als auch holomorphen Spitzenformen) von beliebigem Gewicht zu jeder Kongruenzuntergruppe in einbetten kann.

In der Literatur wird oft als Menge der automorphen Formen (der Adelgruppe) bezeichnet. Ersetzt man die Bedingung durch geeignete Wachstumsbedingungen,[1] gehören auch die eingebetteten nichtholomorphen Eisensteinreihen zu den automorphen Formen, die selbst nicht -integrierbar sind.

Spitzenformen der Adelegruppe

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Für einen Ring sei die Menge aller wobei . Diese Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe von .

Man nennt eine Funktion Spitzenform, falls

für fast alle gilt. Der Vektorraum aller Spitzenformen bezeichnet man mit oder kurz mit . ist abgeschlossen und invariant unter der rechtsregulären Darstellung von .

Man ist nun an einer Zerlegung von in irreduzible abgeschlossene Unterräume unter der rechtsregulären Darstellung interessiert.

Genauer gilt folgender Satz:

Der Raum zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Hilberträume mit endlichen Vielfachheiten:

Die Bestimmung der Vielfachheiten ist eines der schwierigsten und wichtigsten Probleme der Theorie der automorphen Formen.

Kuspidale Darstellungen der Adelgruppe

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Eine irreduzible Darstellung der Gruppe heißt kuspidal, wenn sie isomorph zu einer Unterdarstellung von ist.

Eine irreduzible Darstellung der Gruppe heißt zulässig, falls es eine kompakte Menge gibt, sodass für jedes .

Man kann zeigen, dass jede kuspidale Darstellung zulässig ist.

Die Zulässigkeit wird gebraucht, um den sogenannten Tensorproduktsatz anzuwenden, der besagt, dass jede irreduzible unitäre Darstellung der Gruppe isomorph zu einem unendlichen Tensorprodukt ist, wobei die irreduzible Darstellungen der Gruppe sind, die fast alle unverzweigt sind.

(Eine Darstellung der Gruppe heißt unverzweigt, falls der Vektorraum
:
nicht der Nullraum ist.)

Zur Konstruktion eines unendlichen Tensorprodukts siehe zum Beispiel Deitmar, Kap.7.

Automorphe L-Funktionen

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Es sei eine irreduzible zulässige unitäre Darstellung von . Nach dem Tensorproduktsatz ist von der Form , wobei die irreduzible Darstellungen der Gruppen sind, die fast alle unverzweigt sind.

Es sei eine endliche Stellenmenge, sodass und alle verzweigten Stellen enthält. Man definiert die globale L-Funktion von als

wobei eine sogenannte lokale L-Funktion der lokalen Darstellung ist. Für eine ausführliche Konstruktion einer lokalen L-Funktion siehe zum Beispiel Anton Deitmar: Automorphe Formen, Kapitel 8.2.

Ist eine kuspidale Darstellung, so setzt die L-Funktion zu einer meromorphen Funktion auf fort. Das ist möglich, da , wie auch die klassischen L-Funktionen, bestimmte Funktionalgleichungen erfüllt.

Einer adelisierten Maaßschen Spitzenformen (oder auch einer holomorphen Spitzenform) kann eine kuspidale Darstellung zugewiesen werden, sodass die L-Funktion mit der klassischen L-Funktion übereinstimmt. In diesem Sinne sind die automorphen L-Funktionen eine Verallgemeinerung der klassischen L-Funktionen. Sie wurden zum ersten Mal 1969 von Robert Langlands untersucht.

  1. Siehe zum Beispiel Gelbart: Automorphic forms of the adele group.