Macdonald-Polynome

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Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.

Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.[1]

Notation

  • bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe auf dem Polynomring operiert. bezeichnet den Limes.
  • bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in und .
  • ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in
  • ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit Unbestimmten und Koeffizienten in .
  • ist eine Partition und die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn aus Teilen gleich und Teilen gleich besteht, dann schreiben wir .
  • bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln:
für alle .
wobei bedeutet, dass eine Permutation der Elemente von ist. Die Menge mit allen Partitionen mit höchstens Teilen bildet eine lineare Basis für .

Für allgemeine Wurzelsysteme

  • bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes mit Zerlegung .
  • bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte ( sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.

Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.

Macdonald-Polynome

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Sei eine Partition (). Die Macdonald-Polynome (mit Wurzelsystem vom Typ ) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.

Definition über den Operator

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Sei der Shiftoperator[2]

,

dann sind die Macdonald-Polynome die Eigenfunktionen des Operators

mit Eigenwerten

Definition als explizite Polynome

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Sei eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen[3]

  1. .

wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist

wobei das -Analogon des Hall-Skalarproduktes bezeichnet

mit für .

Definiere und den Automorphismus

,

sei eine Partition und die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt[4]

oder äquivalent

  • sind die Schur-Funktionen.
  • sind die Hall-Littlewood-Polynome.
  • sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen.
  • (monomial-symmetrischen Funktionen).
  • (elementar-symmetrischen Funktionen).
  • I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org).
  • I. G. Macdonald: Symmetric functions and Hall polynomials. Hrsg.: Oxford University Press. 2. Auflage. New York, ISBN 978-0-19-873912-8.

Einzelnachweise

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  1. I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org).
  2. I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 143–145 (englisch, eudml.org).
  3. I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 140 (englisch, eudml.org).
  4. I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 148 (englisch, eudml.org).