Multivektor

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In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form mit Vektoren und . In Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.

Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraumes . Diese Algebra ist graduiert und ein -Vektor ist ein Element von , also eine Summe von Produkten aus Vektoren .

Man spricht von Skalaren, Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um -Vektoren mit und handelt.

Äußeres Produkt

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Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren in einem Vektorraum und für Skalare gilt

Wenn eine Basis von bilden, dann bilden die äußeren Produkte von je Basisvektoren eine Basis von .

Multivektoren im R2

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Sei eine Basis von , dann kann man Vektoren im zerlegen als

und der Bivektor berechnet sich als

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren und aufgespannten Parallelogramms.

Der Bivektor ist eine Basis von .

Multivektoren im R3

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Sei eine Basis von , dann kann man Vektoren im zerlegen als

und der Bivektor berechnet sich als

Mithilfe des Vektorraumisomorphismus definiert durch

sieht man, dass die Komponenten des Bivektors übereinstimmen mit denen des Kreuzprodukts , d. h. es gilt .

Der Trivektor ist eine Basis von . Man berechnet

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren und aufgespannten Parallelepipeds.

Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

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In der Differentialgeometrie bezeichnet man als -Vektor ein Element aus , wobei der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt ist.

Ein Multivektorfeld ist ein Schnitt des des Tangentialbündels .[1]

Einzelnachweise

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  1. Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 12.