In der Quantenfeldtheorie bezeichnet die Normalordnung (auch Wick-Ordnung oder Normalprodukt) den Zustand, in welchem alle Erzeugungsoperatoren links der Vernichtungsoperatoren stehen. Analog wird die Antinormalordnung definiert, wenn die Vernichtungsoperatoren links der Erzeugungsoperatoren stehen.
Die Notation
bezeichnet die Normalordnung von
, wobei
ein beliebig angeordnetes Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (oder Quantenfeldern) ist. Alternativ wird auch die Notation
benutzt.
Bei Verwendung der bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird die folgende Notation verwendet:
: Erzeugungsoperator.
: Vernichtungsoperator.
Diese erfüllen die typischen Kommutatorrelationen für Bosonen.
1. Das einfachste Beispiel ist
:
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42038f1f619e3387649a3dbec5e8781354c2fd96)
Hier wird
nicht verändert, weil der Ausdruck bereits in der Normalordnung vorliegt. Der Erzeugungsoperator
steht bereits links des Vernichtungsoperator
.
2. Ein interessanteres Beispiel ist die Normalordnung von
:
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb76263a35194ca7b5466bd0a2e4a96c27a92b9)
Hier wird durch die Normalordnungs-Operation der Ausdruck umgeordnet, sodass
links von
steht.
Diese beiden Ergebnisse können zusammen mit den oben genannten Kommutatorrelationen zu
![{\displaystyle {\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}+1={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a336ecdd9ac9babaef25ca0ea8b2371647b5f4)
oder
![{\displaystyle {\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }-{:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3783ce068dfdc37a17831e37c59c10b86e0cd488)
zusammengefasst werden. Diese Gleichung wird bei der Definition der Kontraktionen im Wick-Theorem benutzt.
3. Falls mehrere Operatoren beteiligt sind, so ergibt sich:
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}{\hat {b}}^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee491e33a46e2d1dc71a6c44a3b48fc49115c4d6)
4. Ein einfaches Beispiel zeigt, dass die Normalordnung keine lineare Operation ist:
![{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={:}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}\neq {:}1{:}+{:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e8aaec966d1b1543f8a915b5cbc447c465581d)
5. Wenn mehrere Bosonen beteiligt sind, so ergibt sich:
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a14d0f9bcb447e619778bb9e3005c22d27a350)
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3415c81b74be7b78dad837efdfb184f6a8ce647)
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3656e292c26b037c97e2afa15744d76ffbc37be6)
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f8f09b6d57e036b88d5ca2169ad6272b816c27)
![{\displaystyle {:}{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecd166107627af52d7f03156f96d876a155ca2b)
Bei Verwendung von Fermionen werden die Operatoren
: Fermionischer Erzeugungsoperator,
: Fermionischer Vernichtungsoperator
benutzt. Diese erfüllen die typischen Antikommutatorrelationen für Fermionen:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3ac153ef4ac8ff6806b35d5aff966d0f3ed9ad)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc4e2943986870261f822b8db6088b0fb8f794d)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c217f8baf594cc8f6339716924f8efad7ed5db)
wobei
den Antikommutator definiert. Diese können umgeschrieben werden zu
![{\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}^{\dagger }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1857c7d840efca307181cfd651d0fa35dbfbc0)
![{\displaystyle {\hat {f}}{\hat {f}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3c41d6cf55451ae03be15f0e9b1a335de4802d)
![{\displaystyle {\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23de96e8e2d481a34097768dd009b815ec8097fc)
Um die Normalordnung für Fermionen zu definieren muss die Anzahl der Vertauschungen beachtet werden, da für jede Vertauschung ein Minuszeichen auftritt.
1. Zu Beginn nochmals der einfachste Fall:
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{:}={\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e451746691f9f90cbe6dea2f304314b6b8b9e1)
Es liegt bereits eine Normalordnung vor. Umgekehrt wird jedoch aufgrund der Vertauschung beider Operatoren ein Minuszeichen eingeführt:
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4fc5cdd9506242992a11f41f73c2a14586ecac)
Dies kann zusammen mit den Antikommutatorrelationen benutzt werden um
![{\displaystyle {\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}=1+{:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3712f6d9ba63d18efc7a5cacdf9ca7e4dd3a741)
oder
![{\displaystyle {\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }-{:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce77ba997cac74e2f4286c26be05cb5aeb29c2f0)
zu zeigen. Auch diese Gleichung wird im Wick-Theorem benutzt, um die Kontraktion einzuführen.
2. Die Normalordnung jedes komplizierten Falls ergibt Null, da mindestens ein Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator zweimal auftritt. Beispielsweise:
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {f}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8622f7f19d3d48f1e4d1dd0ea2292f48f45d5d)
Bei der Verwendung von
verschiedenen Fermionen gibt es
Operatoren:
: der Erzeugungsoperator des
-ten Fermions.
: der Vernichtungsoperator des
-ten Fermions.
Wobei
.
Diese erfüllen die Kommutatorrelationen:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e028a2ae7b22555b9cbcd653a6550a7c03708238)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb699f8f0c45aff921bb302cf002da2487f840e9)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e336718a18e3acdf8a79afb3538e6e9ab20fd6)
wobei
und
das Kronecker-Delta bezeichnet.
Dies kann umgeschrieben werden zu:
![{\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2212e966855ad021e2b640e3ce8a056a79d2af12)
![{\displaystyle {\hat {f}}_{i}{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}{\hat {f}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40f4786ea00975db39007c4c5826f3b49738743)
![{\displaystyle {\hat {f}}_{i}{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }{\hat {f}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99cce8c1567605345247d598456a846c22b6da7)
1. Für zwei verschiedene Fermionen (
) ergibt sich
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0239bc73b8cd64322970386bc0043051ecf91d4f)
Da der Ausdruck bereits in Normalordnung vorliegt, ändert sich nichts.
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6330a095cc74e2c44e515227d592d3f0dd8de8a)
Hier muss ein Minuszeichen eingefügt werden, da die Ordnung zweier Operatoren vertauscht wurde.
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb9710ef70f7d942c636cfdfe0eee92fee839ec)
Anders als im bosonischen Fall spielt hier die Reihenfolge, in welcher die Operatoren aufgeschrieben werden, eine Rolle.
2. Bei drei verschiedenen Fermionen (
) ergibt sich:
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbda32e6edf9634581cfde1e4cc91220dd5ccc94)
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{:}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32103910aa0a9fe68403331b83df5f8aff6c3591)
![{\displaystyle {:}{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1744105cb46b0395784cc3aaa9760ba59783a4)
- F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
- Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, Springer Berlin Heidelberg, 2009