Primitive Matrix

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Primitivität von Matrizen ist ein Konzept der linearen Algebra, welches insbesondere in der Theorie der positiven Eigenwerte Anwendung findet, siehe etwa Satz von Perron-Frobenius.

Eine quadratische Matrix heißt primitiv, wenn alle Einträge nichtnegativ sind und wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass alle Einträge von positiv sind.

Das kleinste solche wird als Exponent der primitiven Matrix bezeichnet.

  • Primitive Matrizen sind irreduzibel.
  • Wenn die -Matrix irreduzibel ist, dann ist (die Summe mit der Einheitsmatrix) eine primitive Matrix.
  • Für den Exponenten einer primitiven Matrix gilt , wobei den Grad des Minimalpolynoms bezeichnet.[1]

Die Matrix ist irreduzibel, aber nicht primitiv. Die Matrix ist primitiv.

  • E. Seneta: Non-negative matrices. An introduction to theory and applications. Halsted Press, New York, 1973.

Einzelnachweise

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  1. Jian Shen: Proof of a conjecture about the exponent of primitive matrices. Linear Algebra Appl. 216 (1995), 185–203.