In vielen Gebieten der Mathematik spielen direkte Produkte und Koprodukte der betrachteten Objekte eine besondere Rolle. Die Konstruktion solcher Produkte von Objektfamilien fußt oft auf dem kartesischen Produkt von Mengen.
In der Mengenlehre wird das kartesische Produkt einer Familie von Mengen
folgendermaßen definiert:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i\in I}A_{i}:&=\{a:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}A_{i}|a(i)\in A_{i}\quad \forall i\in I\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf57cb44e8013193b94b22732cdcb0056081b89)
Sind die
alles Rechtsmoduln über dem unitären Ring
, so hat
eine Modulstruktur. Dies ist ein Produkt von Moduln, das Produkt der Modulfamilie
.
Ist
eine Familie von Rechtsmoduln über dem Ring
so heißt
das Produkt der Moduln. Ist
, so heißt
die
-te Komponente von
. Das Produkt
erhält durch die folgenden beiden Verknüpfungen eine Modulstruktur.
![{\displaystyle {\begin{aligned}+&:\prod \limits _{i\in I}A_{i}\times \prod \limits _{i\in I}A_{i}\ni (a,b)\mapsto a+b\in \prod \limits _{i\in I}A_{i},\quad {\mbox{ wobei }}(a+b)(i):=a(i)+b(i),\,i\in I\\\cdot &:\prod \limits _{i\in I}A_{i}\times R\ni (a,r)\mapsto a\cdot r\in \prod \limits _{i\in I}A_{i},\quad {\mbox{ wobei }}(a\cdot r)(i):=a(i)\cdot r,\,i\in I\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3af7895f519aba54262072880385fdefca6ad4)
Ist die Funktion
, so schreibt man dafür oft
, analog wie das bei reellen Zahlenfolgen üblich ist[1]. Dabei ist
die
-te Komponente. Man addiert also komponentenweise und mit den Skalaren wird komponentenweise multipliziert.
Ist
das Produkt der Moduln
so bilden die Funktionen
das Produkt
epimorph auf
ab. Sie heißen Projektionen.
Das Paar
hat die folgende Eigenschaft:
Zu jedem Rechtsmodul
über
und jeder Familie von Homomorphismen
gibt es genau einen Homomorphismus
, so dass
für alle
gilt.
In der Kategorientheorie nennt man eine solche Eigenschaft universell, sie kennzeichnet das Produkt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:
Ist
ein Modul und
eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul
und jeder Familie
von Homomorphismen genau ein
mit
, so ist
. Ein Diagramm zu dieser Situation sieht so aus:
Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Produkte.
Ist
eine Familie von Homomorphismen, so ist
genau dann ein Produkt der Familie
, wenn der
Homomorphismus
![{\displaystyle {\begin{aligned}Hom(M,P)\ni f&\mapsto (p_{i}\circ f)\in \prod _{i\in I}Hom(M,A_{i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f42597434493dc8ed30ccf261c13b05435b1d6b)
für alle Rechtsmoduln
ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (M)\colon Hom(M,\prod _{i\in I}A_{i})\ni f&\mapsto (\pi _{i}\circ f)\in \prod _{i\in I}Hom(M,A_{i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029257d71efc4005c6586cc9d8d81fdb78d2bda4)
eine natürliche Transformation, die für jeden Modul
ein Isomorphismus ist.
ist ein funktorieller Isomorphismus.
- Ist für alle
, so schreibt man
und nennt dies eine Potenz von
.
- Für jede Indexmenge
ist
sogar ein Ring, wenn man komponentenweise multipliziert.
ist auf der linken und rechten Seite ein Modul über dem Ring
. Die Diagonalabbildung
ist ein Homomorphismus der Ringe und der Moduln. Dabei sind alle Komponenten von
gleich r.
- Ist
eine Familie von Untermoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
mit
. Dabei ist
die Familie der kanonischen Homomorphismen von
auf die Faktormoduln
. Der Kern dieses Homomorphismus ist
.
- Sind
und
zwei Familien von Moduln und ist
eine Familie von Homomorphismen, so ist die Abbildung
ein Homomorphismus. Es ist
. Weiter ist
.
- Ist auch
eine Familie von Moduln und ist für alle
die Folge
exakt, so ist
exakt.
- Sind
Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
mit
für alle
. Es ist
. Ist
der Endomorphismenring von
, so ist
auf der linken Seite ein S– Untermodul von
. Ist
so koerzeugt der Modul
den Modul
. Ein Modul, der alle Rechtsmoduln koerzeugt heißt Kogenerator. Der Modul
ist daher ein Kogenerator, wenn es zu jedem Rechtsmodul
einen Monomorphismus
gibt, für eine gewisse Indexmenge
[2].
- Ist
eine abelsche Gruppe, so ist
torsionsfrei genau dann, wenn
von
koerzeugt wird.[3]
ist ein Kogenerator in der Kategorie der abelschen Gruppen. Dies ist nicht mehr ganz einfach. Es setzt die Theorie der injektiven Moduln voraus. Siehe dazu zum Beispiel[4]
Eine Funktion
heißt endlichwertig, wenn
nur für endlich viele
gilt. Man meint dasselbe, wenn man sagt
für fast alle
. Die Menge der endlichwertigen Abbildungen aus
wird Koprodukt (oder äußere direkte Summe) der Familie
genannt und mit
bezeichnet.
ist ein Untermodul des Produktes.
Ist
, so sei
die folgende Abbildung aus
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{j}(a)(i)&={\begin{cases}0&\mathrm {falls} \,i\neq j\\a&{\text{falls}}\,i=j\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5c7a8c944866cabc61b3ff94b502474d4f19b3)
Schreibt man die Abbildung
als Tupel, so ist
. An allen Stellen des Tupels steht 0 nur an der j-ten Stelle steht a.
ist der einzige Homomorphismus
, welcher folgende Bedingung erfüllt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}\circ f&={\begin{cases}0&{\text{falls}}\,i\neq j\\\mathbf {1} _{A_{j}}&{\text{falls }}\,i=j\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f169e5e44775860fd80d5b3e1f7925d1becfe5)
Dies ergibt sich aus der universellen Eigenschaft des Produktes.
Die
sind alles Monomorphismen und es ist
die direkte Summe der
in dem Produkt der
.
Ist
das Koprodukt der Moduln
so bilden die Funktionen
![{\displaystyle \eta _{i}\colon A_{i}\ni a\mapsto \eta _{i}(a)\in \coprod _{i\in I}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8072e6c40d84edfff31cb660029185590398738e)
die
monomorph nach
ab. Sie heißen Injektionen.
Das Paar
hat die folgende Eigenschaft:
Zu jedem Modul
und jeder Familie von Homomorphismen
gibt es genau einen Homomorphismus
, so dass
für alle
gilt.
In der Kategorientheorie kennzeichnet diese universelle Eigenschaft das Koprodukt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:
Ist
ein Modul und
eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul
und jeder Familie
von Homomorphismen genau ein
mit
, so ist
.
Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Koprodukte.
Ist
eine Familie von Homomorphismen, so ist
genau dann ein Koprodukt der Familie
, wenn der
Homomorphismus
für alle Rechtsmoduln
ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:
ein
funktorieller Isomorphismus.
- Meist identifiziert man die
mit den
in
. Dann schreibt man
anstelle von
. Normalerweise ist keine Verwechslung zu befürchten.
- Ist
für alle
so schreibt man
anstelle von
.
- Ist
für alle
, so ist
ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie
mit
.
- Ist die Indexmenge
endlich, so sind direkte Summe und direktes Produkt identisch.
- Ist
eine endliche Teilmenge von
und
, so ist
direkter Summand in
. Der Homomorphismus
erfüllt die Bedingungen
und
. Für unendliche Mengen ist die direkte Summe normalerweise keineswegs direkter Summand im direkten Produkt. So ist
kein direkter Summand in
. Eine schwierige Frage ist: Für welche Moduln
ist
direkter Summand im Produkt
? Ist beispielsweise
halbeinfach und endlich erzeugt, so ist dies der Fall.
- Sind
Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
mit
für alle
. Es ist
. Ist
der Endomorphismenring von
, so ist
auf der linken Seite ein S– Untermodul von
. Ist
, so erzeugt der Modul
den Modul
. Ein Modul, der alle Rechtsmoduln erzeugt heißt Generator. Der Modul
ist daher ein Generator, wenn es zu jedem Rechtsmodul
einen Epimorphismus
gibt, für eine gewisse Indexmenge
. Da jeder Modul das epimorphe Bild eines freien Moduls ist, ist
ein Generator.
Sei
eine unendliche Kardinalzahl. Ist der Modul
direkte Summe von
erzeugbaren Untermoduln, so ist jeder direkte Summand von
direkte Summe von
erzeugbaren Untermoduln.
Der wichtigste Fall ist: Ist
direkte Summe von abzählbar erzeugten Untermoduln, so hat jeder direkte Summand diese Eigenschaft. In dieser Form hat Irving Kaplansky den Satz ursprünglich bewiesen. Daraus folgt beispielsweise, dass jeder projektive Modul direkte Summe von abzählbar erzeugten Moduln ist. Will man daher Struktursätze über projektive Moduln beweisen, so kann man sich dank Kaplansky auf abzählbar erzeugte beschränken. Jeder projektive Modul ist ja direkter Summand in einem freien Modul.
Seien
zwei Zerlegungen von
. Sind die Endomorphismenringe aller
lokal und sind alle
unzerlegbar, so gibt es eine Bijektion
mit
für alle
.
Dieser Satz verallgemeinert viele wichtige Sätze. So zum Beispiel:
- Je zwei Basen eines Vektorraumes haben gleiche Mächtigkeit.
- Die Zerlegung eines halbeinfachen Moduls in eine direkte Summe von einfachen Moduln ist im Sinne des Satzes eindeutig.
- Der Zerlegungssatz von Satz von Krull-Remak-Schmidt für Moduln endlicher Länge.
- ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 77 ISBN 3-519-02211-7
- ↑ Robert Wisbauer, Grundlagen der Modul – und Ringtheorie, Verlag Reinhard Fischer, München 1988 Seite 112 ISBN 3-88927-044-1
- ↑ Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of modules Springe, New York Berlin Heidelberg, 1992, Seite 106, ISBN 0-387-97845-3
- ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 127 ISBN 3-519-02211-7
- Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
- Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
- Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1