Projektive Abbildung

Projektive Abbildungen sind Abbildungen, welche Geraden in Geraden überführen. Sie sind in der projektiven Geometrie das Analogon zu den linearen Abbildungen der linearen Algebra.

Definition

Der projektive Raum $P(V)$ zu einem $K$-Vektorraum $V$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt in $V$, das heißt der Quotientenraum $V\setminus \{0\}/\sim$ bezüglich der Äquivalenzrelation $x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x=\lambda y$.
Seien nun $V_{1}$ und $V_{2}$ Vektorräume und $P(V_{1})$ und $P(V_{2})$ die zugehörigen projektiven Räume, dann heißt eine Abbildung

$\pi \colon P(V_{1})\longrightarrow P(V_{2})$

projektiv oder projektiv-linear, wenn es eine injektive lineare Abbildung

${\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

$\pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle$ für alle $\langle x\rangle \in P(V_{1})$

gibt.

Bei einzelnen Autoren findet man auch folgende (nicht äquivalente) Definition:
Seien $P(V_{1})$ und $P(V_{2})$ projektive Räume und $Z$ ein projektiver Unterraum von $P(V_{1})$, dann heißt eine Abbildung

$\pi \colon P(V_{1})\setminus Z\longrightarrow P(V_{2})$

projektiv, wenn es eine lineare Abbildung

${\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

$\pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle$ für alle $\langle x\rangle \in P(V_{1})\setminus Z$

und $P(\operatorname {Kern} ({\tilde {\pi }}))=Z$ gibt. Der Unterraum $Z$ wird als der Ausnahmeraum bezeichnet.

Dieser Artikel bezieht sich im Folgenden auf die erste Definition.

Beispiel

Ein Beispiel einer projektiven Abbildung (zwischen projektiven Räumen unterschiedlicher Dimension) ist die Veronese-Einbettung $i:P(K^{2})\rightarrow P(K^{3})$.

$i([x:y])=[x^{2}:xy:y^{2}]$.

Projektive lineare Gruppe

→ Hauptartikel: Projektive lineare Gruppe

Die invertierbaren projektiven Abbildungen eines projektiven Raumes $P(V)$ auf sich bilden eine Gruppe, die als projektive lineare Gruppe $\mathrm {PGL} (V)$ bezeichnet wird. Die Elemente dieser Gruppe sind insbesondere geradentreu, also Kollineationen.

Die projektive lineare Gruppe $\mathrm {PGL} (V)$ über einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ ist die Faktorgruppe $\mathrm {GL} (V)/K^{\times }$, wobei $K^{\times }$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{V}$ der Identität $\mathrm {id} :V\rightarrow V$ ist mit $k$ aus $K\setminus \{0\}$. Die Bezeichnungen $\mathrm {PGL} (n,K)$ usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, sind $\mathrm {PGL} (n,K)$ und $\mathrm {SL} (n,K)$ gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Projektive Abbildungen erhalten die Inzidenzstruktur.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum $n$-dimensionalen projektiven Raum über $K$ gehört dabei die Gruppe $\mathrm {PGL} (n+1,K)$, sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Gebrochen-lineare Transformationen

Im Fall der projektiven Gerade $KP^{1}:=P(K^{2})$ handelt es sich bei den projektiven Abbildungen genau um die gebrochen-linearen Transformationen.

Nach der Identifikation von $P(K^{2})$ mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ (durch $[x_{0}:x_{1}]\leftrightarrow x_{0}x_{1}^{-1}$) wirkt $PGL(2,K)$ auf $P(K^{2})$ durch $\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}$.

Möbiustransformationen

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$. Dies sind die projektiven Abbildungen des $P(\mathbb {C} ^{2})$. Diskrete Gruppen von Möbiustransformationen werden als Kleinsche Gruppen bezeichnet. Fuchssche Gruppen sind Kleinsche Gruppen, welche den projektiven Unterraum $P(\mathbb {R} ^{2})\subset P(\mathbb {C} ^{2})$ auf sich abbilden.

Eigenschaften

Projektive Abbildungen bilden projektive Teilräume auf projektive Teilräume ab.

Projektive Abbildungen erhalten das Doppelverhältnis von 4-Tupeln kollinearer Punkte. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie angesehen werden. Siehe dazu: Erlanger Programm. Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei Pappos. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff Doppelverhältnis überhaupt entwickelt wurde.

Siehe auch

• Projektivität
• Kollineation

Literatur

• Heiner Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, 1997, ISBN 978-3-519-02230-5.