Rang-Vermutung

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In der Mathematik war die Rang-Vermutung (engl. rank conjecture oder rank vs. genus conjecture) eine die Poincaré-Vermutung verallgemeinernde Vermutung über 3-Mannigfaltigkeiten.

Die Fundamentalgruppe ist eine wichtige Invariante geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten . Zum Beispiel besagt die (2003 von Perelman bewiesene) Poincaré-Vermutung, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann die 3-Sphäre ist, wenn gilt.

Der Rang einer (endlich erzeugten) Gruppe ist die minimale Anzahl von Erzeugern. Der Rang der Fundamentalgruppe wird mit bezeichnet. Aus dem Satz von Grushko folgt . Eine äquivalente Formulierung der Poincaré-Vermutung besagt

für geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten.

Waldhausen stellte in den 60er Jahren die (1970 in einer Arbeit Hakens als „verallgemeinerte Poincaré-Vermutung“ bezeichnete) Frage, ob für kompakte 3-Mannigfaltigkeiten die Gleichung

für das Heegaard-Geschlecht gilt. Weil die Fundamentalgruppe eines der beiden Henkelkörper einer Heegaard-Zerlegung bereits erzeugt, gilt . Die Frage nach der Gleichheit wurde oft als rank vs. genus conjecture bezeichnet.

Die Vermutung ist korrekt für 3-Mannigfaltigkeiten mit . Erste Gegenbeispiele von Seifert-Faserungen mit und fanden 1983 Boileau und Zieschang.[1] Tatsächlich gibt es Graphmannigfaltigkeiten mit beliebig großen Werten für die Differenz .[2] Diese Konstruktionen benutzten die Existenz zentraler Elemente in Fundamentalgruppen von Seifert-Faserungen, weshalb die Vermutung dann als rank conjecture oder rank vs. genus conjecture eingeschränkt auf hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten betrachtet wurde. Nachdem die Vermutung dort für verschiedene Klassen hinreichend komplizierter hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen worden war[3], fand Tao Li 2011 Gegenbeispiele zur Rang-Vermutung.[4]

Einzelnachweise

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  1. M. Boileau, H. Zieschang: Heegaard genus of closed orientable Seifert 3-manifolds. Invent. Math. 76, 455–468 (1984).
  2. J. Schultens, R. Weidmann: On the geometric and the algebraic rank of graph manifolds. Pac. J. Math. 231, No. 2, 481–510 (2007).
  3. H. Namazi, J. Souto: Heegaard splittings and pseudo-Anosov maps. Geom. Funct. Anal. 19, No. 4, 1195–1228 (2009).
  4. Tao Li: Rank and genus of 3-manifolds. J. Am. Math. Soc. 26, No. 3, 777–829 (2013).