Reine Untergruppe

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Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommutativen) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist eine abelsche Gruppe und eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form , die in lösbar ist, normalerweise nicht in lösen. Das heißt gibt es ein mit , so braucht es kein zu geben, das ich für einsetzen kann. So ist die Gleichung in lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen . Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.

  1. Es sei eine Untergruppe der abelschen Gruppe . Sind und , so heißt eine Gleichung lösbar in , wenn es ein gibt, so dass gilt.
  2. Die Gleichung heißt lösbar in , wenn es ein gibt mit . Ist zum Beispiel und , so ist die Gleichung in lösbar aber nicht in .
  3. Eine Untergruppe der abelschen Gruppe heißt rein, wenn jede in lösbare Gleichung mit auch in lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen gilt: . Dabei ist .
  4. Ist eine Primzahl, so ist p-rein, wenn für alle gilt: .[1][2]
  1. ist in nicht rein. Denn die Gleichung ist in lösbar aber nicht in .
  2. ist in jeder Gruppe rein.
  3. Eine Gruppe heißt teilbar, wenn für alle gilt: . Eine teilbare Gruppe ist in jeder Obergruppe rein.
  4. Jeder direkte Summand einer Gruppe ist rein in .
  5. Ist eine Familie von Gruppen, so ist rein in .
  6. Die Torsionsuntergruppe von ist rein in und im Allgemeinen kein direkter Summand. Allgemeiner gilt: Ist eine Untergruppe von und die Faktorgruppe torsionsfrei, so ist rein in .[3]

Einfache Tatsachen

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Es seien Untergruppen. Dann gilt:

  • Ist rein in und rein in , so ist rein in .
  • Ist rein in so ist rein in .
  • Ist eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von , so ist eine reine Untergruppe von .

Rein exakte Folgen

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Eine kurze exakte Folge

abelscher Gruppen heißt rein exakte Folge, wenn rein in ist. Ist eine abelsche Gruppe und so bezeichnet man mit .

Folgende Aussagen für eine exakte Folge abelscher Gruppen sind äquivalent:

  • ist exakt für alle .
  • ist exakt für alle .
  • ist exakt für alle .
  • Die exakte Folge ist rein exakt.[1]

Einzelnachweise

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  1. a b Lázló Fuchs: "Abelian Groups" im Kapitel "Purity and Basic Subgroups"
  2. Phillip A.Griffith in "Infinite abelian group theory" im Kapitel "Purity, Basic Subgroups, ...". Chicago Lectures in Mathematics
  3. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 150.