Restriktion und Erweiterung der Skalare

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Die Restriktion der Skalare und die Erweiterung der Skalare sind zwei Methoden aus der Algebra, die es ermöglichen, den Ring eines Moduls zu ändern, das heißt ein -Modul wird in ein -Modul mittels eines Ringhomomorphismus transformiert und aus einem -Modul wird ein -Modul.

Aus kategorientheoretischer Sicht handelt sich um einen links- und rechtsadjungierten Funktor zwischen den Kategorien der -Moduln und -Moduln.

In der algebraischen Geometrie wird oft die Weil-Restriktion als Restriktion der Skalare bezeichnet.

Betrachte einen Ringhomomorphismus .

Restriktion der Skalare

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Sei ein (linkes) -Modul. Dann ist auch ein -Modul durch die Wirkung

Man sagt, der -Modul entstand durch Restriktion der Skalare. Wiederum definiert die Struktur eines -Moduls auf mit[1]

.

Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der -Moduln und -Moduln

wird Restriktion der Skalare genannt.

Erweiterung der Skalare

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Sei nun ein -Modul. Da auch ein -Modul ist, ist auch das Tensorprodukt

ein -Modul. ist aber auch ein -Modul durch die Wirkung

Man sagt, der -Modul entstand durch Erweiterung der Skalare.[2]

Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der -Moduln und -Moduln

wird Erweiterung der Skalare genannt.[3]

Einzelnachweise

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  1. Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald: Introduction To Commutative Algebra. Hrsg.: CRC Press. S. 27.
  2. Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald: Introduction To Commutative Algebra. Hrsg.: CRC Press. S. 28.
  3. nLab authors: restriction of scalars. 2022, abgerufen am 14. Oktober 2022.