Reziprokenregel

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Die Reziprokenregel[1] oder Kehrwertregel[2] dient zur Ableitung von Funktionen der Form In Kurzschreibweise lautet sie

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion im Zähler aufgefasst werden.

Ist die Funktion von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle mit differenzierbar, so ist auch die Funktion mit an der Stelle differenzierbar und es gilt

Die Ableitung der Funktion

berechnet sich an allen Stellen mit nach der Reziprokenregel zu

.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Ist an differenzierbar, so ist dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung gibt es deshalb eine Umgebung von , in der überall ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

von wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

.

Beim Grenzübergang strebt der erste Faktor gegen und der zweite Faktor gegen . Also ist

Einzelnachweise

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  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.
  2. Kehrwertregel für Ableitungen. In: Formelsammlung-Mathe.de. Abgerufen am 15. August 2019.