Ricci-Soliton

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Ricci-Solitonen eine Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten, zu denen insbesondere die Einstein-Mannigfaltigkeiten gehören.

Eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Ricci-Soliton, wenn es ein Vektorfeld mit Lie-Ableitung gibt, so dass für die Ricci-Krümmung die punktweise Gleichung

mit einer Konstanten gilt. (Insbesondere erhält man für die Einstein-Mannigfaltigkeiten.)

Wenn ein Gradientenfeld für eine Funktion ist, heißt ein Gradienten-Ricci-Soliton. In diesem Fall gilt

.

Selbstähnliche Lösungen des Ricci-Flusses

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Ein Ricci-Soliton gibt eine selbstähnliche Lösung des Ricci-Flusses wie folgt.

Setze und . Der Fluss des Vektorfelds definiert eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen und man definiert

,

was eine Lösung des Ricci-Flusses ist. Für ist es eine expandierende Lösung, für eine beständige und für eine schrumpfende Lösung.

  • Bennett Chow, Peng Lu, Lei Ni: Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics 77, AMS (2006)