Satz von Beltrami-Enneper
Der Satz von Beltrami-Enneper (nach Eugenio Beltrami[1] und Alfred Enneper[2]) ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie der Flächen.
Aussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Quadrat der Torsion einer Asymptotenlinie ist gleich der negativen gaußschen Krümmung der Fläche, in der sich die Kurve bewegt, sofern die Krümmung der Kurve selbst nicht verschwindet.[3][4] Eine Kurve auf einer Fläche heißt Asymptotenlinie, wenn die zweite Fundamentalform der Fläche entlang der Kurve verschwindet. Insbesondere ist die gaußsche Krümmung in jedem Punkt einer Asymptotenlinie nichtpositiv.
Anwendungsbeispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus dem Satz von Beltrami-Enneper folgt[5]: Ist eine reguläre Fläche, die eine Gerade enthält (dabei Parametrisierung nach der Bogenlänge), und ein an tangentiales, auf orthogonales Einheitsvektorfeld entlang , dann ist die Krümmung von in gleich
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Hyperboloid1.png/220px-Hyperboloid1.png)
Sei das einschalige Hyperboloid und
Dann ist
und damit
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Eugenio Beltrami: Dimostrazione di due formole del Sig. Bonnet. In: Giornale di Matematiche. 4, 1866, ZDB-ID 281094-3, S. 123–127 (Auch in: Eugenio Beltrami: Opere matematiche. Band 1. Hoepli, Mailand 1902, S. 297–301), Online.
- ↑ Alfred Enneper: Über asymptotische Linien. In: Nachrichten von der Georg-Augusts-Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 12, 1870, ZDB-ID 502554-0, S. 493–510, (Resultat ist formuliert auf S. 499), Online
- ↑ W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5. vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3, § 56, S. 133f.
- ↑ Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 5. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9, Satz 3.19, S. 57.
- ↑ Victor Andreevich Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces. A concise guide. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-4384-2, Theorem 2.7.6.