Satz von Cartan-Ambrose-Hicks

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In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Ambrose-Hicks ein Lehrsatz der Riemannschen Geometrie, dem zufolge Riemannsche Metriken lokal bereits durch den Riemannschen Krümmungstensor eindeutig festgelegt sind.

Der Satz ist nach Élie Cartan benannt, der die lokale Version bewies, und Warren Ambrose und dessen Doktoranden Noel Hicks.[1] Ambrose bewies 1956 eine globale Version.[2]

Seien zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, und

eine lineare Isometrie. Für hinreichend kleine sind die Exponentialabbildungen

lokale Diffeomorphismen. Man definiert dann eine differenzierbare Abbildung durch

.

Für eine Geodäte mit sei der (mittels des Levi-Civita-Zusammenhanges definierte) Paralleltransport entlang . Wir definieren dann

für .

Satz von Cartan

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Der ursprüngliche Satz von Cartan ist die lokale Version des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks. Er besagt, dass genau dann eine (lokale) Isometrie ist, wenn für alle Geodäten mit und alle gilt:

,

wobei die Riemannschen Krümmungstensoren von sind.

Man beachte, dass im Allgemeinen kein Diffeomorphismus, sondern nur eine lokal-isometrische Überlagerung sein muss. Jedoch muss eine globale Isometrie sein, wenn einfach zusammenhängend ist.

Satz von Cartan-Ambrose-Hicks

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Seien zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, einfach zusammenhängend. Seien und

eine lineare Isometrie. Für die Riemannschen Krümmungstensoren und alle in beginnenden gebrochenen Geodäten gelte

für alle .

Dann gilt: wenn zwei in beginnende gebrochene Geodäten denselben Endpunkt haben, dann gilt das auch für die (unter ) entsprechenden gebrochenen Geodäten in . Man kann also eine Abbildung

definieren, indem man Endpunkte gebrochener Geodäten auf die Endpunkte der entsprechenden Geodäten in abbildet.

Die Abbildung ist eine lokal-isometrische Überlagerung.

Falls ebenfalls einfach zusammenhängend ist, dann ist eine Isometrie.

Lokal symmetrische Räume

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Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, falls der Riemannsche Krümmungstensor parallel ist:

.

Eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit ist genau dann lokal symmetrisch, wenn sie ein Symmetrischer Raum ist.

Aus dem Satz von Cartan-Ambrose-Hicks ergibt sich:

Satz: Seien zusammenhängende, vollständige, lokal symmetrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten, einfach zusammenhängend. Seien und

eine lineare Isometrie mit

für die Riemannschen Krümmungstensoren . Dann gibt es eine lokal isometrische Überlagerung

mit und .

Als Korollar folgt, dass jeder vollständige lokalsymmetrische Raum von der Form für einen symmetrischen Raum und eine diskrete Gruppe von Isometrien ist.

Als Anwendung des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks ist insbesondere jede einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung isometrisch zur Standard-Sphäre bzw. dem euklidischen Raum bzw. dem hyperbolischen Raum .

Weiterhin gilt:

  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ist von der Form für eine endliche Gruppe von Isometrien ,
  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ist von der Form für eine Bieberbachgruppe ,
  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ist von der Form für eine diskrete Gruppe von Isometrien .
  • Jeff Cheeger, David Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Joseph A. Wolf: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8
  • Fangyang Zheng: Complex differential geometry. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 18. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Boston, MA, 2000. ISBN 0-8218-2163-6

Einzelnachweise

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  1. Mathematics Genealogy Project, Eintrag zu N. Hicks
  2. W. Ambrose: Parallel translation of Riemannian curvature, Annals of Mathematics (2) 64 (1956), 337–363