Satz von Itō-Nisio

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Der Satz von Itō-Nisio ist ein mathematischer Satz aus der Stochastik, der die Konvergenz in Banach-Räumen charakterisiert. Er zeigt die Äquivalenz der Konvergenzarten für Summen von unabhängigen und symmetrischen Zufallsvariablen in Banach-Räumen. Der Satz führt zu einer Verallgemeinerung der Wiener-Konstruktion der brownschen Bewegung und folglich zu einer neuen Definition der brownschen Bewegung.[1]

Die Aussagen des Theorems wurden ursprünglich in zwei Varianten formuliert, eine Aussage für symmetrische Verteilungen und eine für allgemeine Verteilungen, wobei heute der symmetrische Fall als Satz von Itō-Nisio bezeichnet wird. Die Symmetrie-Eigenschaft benötigt man, da man in einem unendlichdimensionalen Raum ist.

Der Satz wurde 1968 von den japanischen Mathematikern Itō Kiyoshi und Makiko Nisio bewiesen.[2]

Satz von Itō-Nisio

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Sei ist ein separabler Banach-Raum über mit der durch die Norm induzierten Topologie und sein Dualraum.

Mit bezeichnen wir eine -Zufallsvariable, das heißt eine Banach-wertige Zufallsvariable. Mit bezeichnen wir die duale Paarung.

Seien unabhängige und symmetrische -Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum. Sei deren Summe und das Wahrscheinlichkeitsmaß von . Weiter sei eine -Zufallsvariable. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. konvergiert fast sicher.
  2. konvergiert in Wahrscheinlichkeit.
  3. konvergiert in der Prochorow-Metrik.
  4. sind straff.
  5. in Wahrscheinlichkeit für jedes .
  6. Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , so dass für jedes

Für nicht-symmetrische Zufallsvariablen:

  • in endlicher Dimension gilt die Äquivalenz für alle Punkte außer (d. h. die Straffheit von ),
  • in unendliche Dimension gilt aber gilt im Allgemeinen nicht.

Verallgemeinerte Wiener-Konstruktion der brownschen Bewegung

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Sei eine brownsche Bewegung mit . Dann existiert ein Isomorphismus zwischen dem reellen Hilbertraum und dem durch die aufgespannten reellen Hilbertraum in (CM steht für Cameron-Martin) durch

Sei eine Orthonormalbasis in und die dazugehörige Orthonormalbasis in . Die sind unabhängig.

Dann konvergiert die zufällige orthogonale Reihenentwicklung

gleichmäßig zur brownschen Bewegung

fast sicher.[3]

Definition der brownschen Bewegung

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Als Folgerung der Konstruktion erhält man eine neue Definition der brownschen Bewegung.

Seien und unabhängig, weiter sei eine Orthonormalbasis in . Dann konvergiert

gleichmäßig in fast sicher zu einer brownschen Bewegung.[4]

  • Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 45 (projecteuclid.org).
  • Michel Ledoux und Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces: Isoperimetry and Processes. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-20211-7, S. 48, doi:10.1007/978-3-642-20212-4.

Einzelnachweise

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  1. Nobuyuki Ikeda und Setsuo Taniguchi: The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons. In: Stochastic Processes and theirpplications. Band 120, Nr. 5, 2010, S. 605–621, doi:10.1016/j.spa.2010.01.009 (sciencedirect.com).
  2. Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 35–48 (projecteuclid.org).
  3. Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 44 (projecteuclid.org).
  4. Kiyosi Itō und Makiko Nisio: On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 1, 1968, S. 45 (projecteuclid.org).