Satz von Jordan-Dickson

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Satz von Jordan-Dickson ein Lehrsatz über die Einfachheit projektiver linearer Gruppen über endlichen Körpern. Er ist nach Camille Jordan und Leonard Dickson benannt.

Satz

Sei $K$ ein endlicher Körper und $n\geq 3$ oder $n=2,K\not =F_{2},F_{3}$.

Dann ist die projektive spezielle lineare Gruppe $PSL_{n}(K)$ eine einfache Gruppe.

Einfache Gruppen vom Lie-Typ und exzeptionelle Isomorphismen

Die Gruppen $PSL(n,F_{q})$ mit $(n,q)\not =(2,2),(2,3)$ sind die einfache Gruppen vom Lie-Typ. Bis auf wenige Ausnahmen sind sie weder untereinander noch zu alternierenden Gruppen isomorph. Die Ausnahmen sind die folgenden:

$PSL_{2}(F_{4})\simeq PSL_{2}(F_{5})\simeq A_{5}$

$PSL_{2}(F_{7})\simeq PSL(3,F_{2})$

$PSL_{2}(F_{9})\simeq A_{6}$

$PSL_{4}(F_{2})\simeq A_{8}$.

Literatur

• O. Bogopolski: Introduction to group theory. Translated from the Russian. With a new chapter. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-041-8/hbk.