Satz von Kato-Rellich

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Der Satz von Kato-Rellich ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Funktionalanalysis. Benannt wurde er nach dem japanischen Mathematiker Tosio Kato und dem deutschen Mathematiker Franz Rellich.

Notation und Terminologie

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Im Folgenden bezeichne einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt und zugehöriger Norm .

  • Ein dicht definierter, linearer Operator ist eine lineare Abbildung , wobei einen dichten Untervektorraum von bezeichne. Derartige Operatoren können beschränkt oder unbeschränkt sein, darüber wird hier keine Annahme getroffen.
  • Man bezeichnet einen dicht definierten, linearen Operator als symmetrisch, falls für alle gilt.
  • Zu einem dicht definierten, linearen Operator lässt sich der adjungierte Operator wie folgt definieren: Man definiert den Raum als die Menge aller , für die gilt, dass das lineare Funktional , welches durch für definiert ist, stetig ist. Da der Definitionsbereich dicht definiert ist, besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf . Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ein eindeutig bestimmtes Element mit der Eigenschaft . Man setzt nun und erhält dadurch einen Operator mit der Eigenschaft für alle und alle .
  • Man nennt einen dicht definierten, linearen selbstadjungiert, falls und symmetrisch ist.

Formulierung des Satzes

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Um den Satz zu formulieren, wird der Begriff eines relativ beschränkten Operators benötigt:

Seien und zwei dicht definierte, lineare Operatoren. Man bezeichnet als relativ beschränkt bezüglich oder kurz -beschränkt, falls gilt und zwei positive reelle Zahlen und existieren, so dass die folgende Ungleichung für alle erfüllt ist:

Das Infimum aller Zahlen , für die ein existiert, sodass die obige Ungleichung für alle erfüllt ist, wird als relative Schranke von bezüglich bezeichnet.

Satz (von Kato-Rellich):

Es sei ein selbstadjungierter Operator und ein symmetrischer Operator. Ist der Operator relativ beschränkt bezüglich mit einer relativen Schranke , dann ist der Operator selbstadjungiert.

Beweis des Satzes

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Der Operator ist offensichtlich wohldefiniert, da . Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch. Ein symmetrischer Operator ist genau dann selbstadjungiert, wenn ein existiert, sodass , wobei das Bild von bezeichnet.[1] Daher reicht es zu zeigen, dass ein existiert, sodass gilt.

Sei . Die Beweisidee des Satzes von Kato-Rellich ist nun, den Operator als zu schreiben. Das ist möglich, da nach Voraussetzung selbstadjungiert ist und daher existiert. Da weiters , genügt es zu zeigen, dass einen beschränkten inversen Operator hat.

Nach Voraussetzung gilt für alle die Ungleichung

.

Des Weiteren gilt für alle die Gleichheit und daher mit

und

.

Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen, findet man, dass für alle die Abschätzung

.

gilt. Da , ist es möglich, groß genug zu wählen, sodass gilt, womit die Ungleichung

für alle gezeigt ist. Es folgt, dass invertierbar ist mit einem beschränkten inversen Operator (siehe Neumann-Reihe). Damit ist gezeigt.

Anwendung findet der Satz von Kato-Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik:

Sei mit und . Dann lässt sich mithilfe des Satzes von Kato-Rellich zeigen, dass der Hamiltonoperator mit dem Laplace-Operator selbstadjungiert ist, wenn man als Definitionsbereich den Sobolev-Raum wählt.

  • Leon Armenovich Takhtadzhi͡an: Quantum Mechanics for Mathematicians (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 95). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2008.
  • Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 99). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2009.

Einzelnachweise

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  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, S. 349 (Satz VII.2.8.).