Satz von Kirszbraun

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In der Mathematik ist der Satz von Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz von Kirszbraun oder Satz von Kirszbraun-Valentine) ein Lehrsatz über die Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, er ist nach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.

Sei

eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante , dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung

mit derselben Lipschitz-Konstante

und mit

Für kann man explizit definieren durch

für alle .

Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen beliebiger metrischer Räume und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.

Für kennt man keine solche geschlossene Formel.

Verallgemeinerungen

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Der Satz von Kirszbraun gilt auch für Hilberträume, aber nicht für beliebige Banachräume.

Seien Hilberträume und eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit

  • M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
  • F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)