Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Legendre (englisch Legendre’s theorem) über diophantische Gleichungen ein etwa um das Jahr 1785 von dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) vorgelegter Lehrsatz, der die Lösbarkeit solcher Gleichungen aus ternären quadratischen Formen ohne gemischte Glieder behandelt.

Formulierung des Legendre’schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien drei quadratfreie und paarweise teilerfremde ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$.

Dann gilt:

Die diophantische Gleichung

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

ist in ganzen Zahlen $x,y,z$ nichttrivial lösbar dann und nur dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(I) $a,b,c$ haben nicht alle dasselbe Vorzeichen.

(II.1) $-bc$ ist quadratischer Rest ${\bmod {a}}$.

(II.2) $-ac$ ist quadratischer Rest ${\bmod {b}}$.

(II.3) $-ab$ ist quadratischer Rest ${\bmod {c}}$.

Anmerkungen und Erläuterungen

1. Man bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre’sche Gleichung (englisch Legendre’s equation).
2. Da $x=y=z=0$ stets eine Lösung der Legendre’schen Gleichung liefert (nämlich die sogenannte triviale Lösung), bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen, unter denen eine nichttriviale Lösung vorliegt, also ein Tripel $(x,y,z)\in {\mathbb {Z} }^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$, sodass $x,y$ und $z$ die Legendre’sche Gleichung erfüllen.
3. Der Satz von Legendre ist – wie auch der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange – einer von mehreren Sätzen der Zahlentheorie, die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski (1864–1909) zurückführen lassen.
4. Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Resten gilt also (bei Anwendung des Legendre-Jacobi-Symbols) $\left({\frac {-ab}{c}}\right)=\left({\frac {-bc}{a}}\right)=\left({\frac {-ca}{b}}\right)=+1$.

Literatur

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg / Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155). 
• Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre’s equation ax² + by² + cz² = 0. In: Journal of Number Theory. Band 16, 1983, S. 100–105 (MR0693397). 
• Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Science+Business Media, LLC, New York 1985, ISBN 0-387-90942-7 (MR0770936). 
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.